广西专用高考数学一轮复习单元质检8立体几何B含解析新人教A版文

单元质检八　立体几何(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:

①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;

②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;

③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;

④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.

则假命题的个数为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

2.(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为(　　)

A.4 B. C. D.1

3.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为(　　)

A. B. C.24π D.

4.(2021全国Ⅱ)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为(　　)

A. B. C. D.

5.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,E,F,H,K分别为AC',CB',A'B,B'C'的中点,G为△ABC的重心.从K,H,G,B'中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点(　　)

A.G B.H

C.K D.B'

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N是棱BC的中点,点M在四边形DCC1D1内部运动(包括边界).设直线A1D1与直线MN所成的角为θ,则当MN∥平面BB1D1D时,tan θ的取值范围为(　　)

A.[1,] B.[1,] 

C.[] D.[]

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.如图,实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知BC=EF=π cm,AE=2 cm,BE=CF=4 cm,AD=7 cm,且AE⊥EF,AD⊥底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为　　　　　cm. 

8.在三棱锥D-ABC中,已知AD⊥平面ABC,且△ABC为正三角形,AD=AB=,点O为三棱锥D-ABC的外接球的球心,则点O到棱DB的距离为　　　　　. 

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分别为棱AC1,AB,A1C1的中点.

(1)求证:直线MN∥平面AOB1;

(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10,求三棱锥A-MON的体积.

10.(15分)(2021四川成都外国语学校月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面PBC,点E是PC的中点.

(1)求证:平面PDC⊥平面ABCD;

(2)线段PA上是否存在一点F,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

11.(15分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,E,F分别是CD边上的三等分点.将△ADF,△BCE分别沿AF,BE折起到△AD'F,△BC'E的位置,且使平面AD'F⊥底面ABCD,平面BC'E⊥底面ABCD,连接D'C'.

(1)证明:D'C'∥平面ABEF;

(2)求点A到平面EFD'C'的距离.

答案：

1.B　解析①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;

②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;

③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;

④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以是任意的夹角.故选B.

2.C　解析该四棱锥的直观图如图所示,其一条侧棱垂直于底面且底面为正方形,其中高为2,底面正方形对角线的长度为2.

则PA=2,AC=2,正方形ABCD的面积为2,所以该四棱锥的体积V=×2×2=.

3.B　解析令△PAD所在圆的圆心为O1,则易得圆O1的半径r=,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以OO1=AB=2,所以球O的半径R=,所以球O的表面积=4πR2=.

4.A　解析AC⊥BC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=,由题意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=,则三棱锥O-ABC的体积为×1×1×.

5.A　解析若P为点G,连接BC',则F为BC'的中点,

∴EF∥AB,EF∥A'B'.

∴AB∥平面GEF,A'B'∥平面GEF.

∴P为点G符合题意;

若P为点K,则有三条侧棱和AB,A'B'与该平面平行,不符合题意.

若P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;

若P为点B',则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题意,故选A.

6.B　解析取DC,D1C1的中点分别为P,Q,连接PQ,PN,QN,易证得平面PQN∥平面BB1D1D,故当点M在线段PQ上运动时,MN∥平面BB1D1D.因为A1D1∥BC,所以直线BC与直线MN所成的角即为直线A1D1与直线MN所成的角,所以∠MNC=θ.连接MC,显然NC⊥MC.令正方体的棱长为2,PM=x,x∈[0,2],则MC=,又CN=1,

所以tanθ=,所以tanθ∈[1,].故选B.

7.　解析设铸得的铁球的半径为rcm.

由题意可得几何体的体积为×2×π×4+×2×π×(7-4)=5π,

即5π×(1-20%)=πr3,

解得r=.

8.　解析设O'为正三角形ABC的中心.

作平面ODA交BC于点E,交于点F.

设平面ODA截得外接球面是☉O,则D,A,F是☉O圆周上的点.

又AD⊥平面ABC,∴∠DAF=90°.

∴DF是☉O的直径.

因此,球心O在DF上,球心O在平面ABC的射影在AF上,AF是☉O'的直径.

连接BD,BF,

∵BF⊥AD,BF⊥AB,

∴BF⊥平面ABD.

∴∠DBF=90°.

作OH∥BF交BD于点H,则OH⊥BD.

又DO=OF,

∴OH是△DBF的中位线.

∴OH=BF=AB·tan∠BAF=.

9.(1)证明连接A1B交AB1于点P,连接NP,OP.

则P是AB1的中点.

∵N是AB的中点,

∴NP∥BB1,且NP=BB1.

又M,O分别是AC1,A1C1的中点,

∴MO∥AA1,且MO=AA1.

∵AA1∥BB1,且AA1=BB1,∴MO∥NP,且MO=NP,∴四边形MOPN为平行四边形,∴MN∥OP.

又MN⊄平面AOB1,OP⊂平面AOB1,∴MN∥平面AOB1.

(2)解由题意,得VA-MON=VN-AMO=.

∵BB1∥平面AA1C1,∴,

∴,

∴VA-MON=.

10.解(1)因为DE⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,所以DE⊥BC.

因为四边形ABCD是矩形,所以BC⊥DC,

又DE∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.

因为BC⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.

(2)假设线段PA上存在一点F,使得VF-ABD=VP-BDE.

因为点E为PC的中点,所以VP-BDE=VC-BDE=VE-BCD,所以VF-ABD=VE-BCD,

因为S△ABD=S△BCD,所以点E,F到平面ABCD的距离相等,

所以EF∥平面ABCD,

因为点E为线段PC的中点,所以点F是线段PA的中点.

所以存在点F,且点F是线段PA的中点,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积.

11.(1)证明分别过点D',C'作AF,BE的垂线,垂足为M,N,连接MN.

因为平面AD'F⊥平面ABEF,且平面AD'F∩平面ABEF=AF,所以D'M⊥平面ABEF,

同理可证,C'N⊥平面ABEF,

所以D'M∥C'N.

因为△AD'F≌△BC'E,所以D'M=C'N.

从而四边形D'MNC'为平行四边形,则D'C'∥MN.

又D'C'⊄平面ABEF,MN⊂平面ABEF,

所以D'C'∥平面ABEF.

(2)解连接DD',DM.在Rt△D'AF中,D'F=AD'=1,

所以D'M=.

因为S△ADF=·DF·AD=×1×1=,

所以VD'-ADF=S△ADF·D'M=.

设点A到平面EFD'C'的距离为h,

因为DD'==1,D'F=DF=1,

所以S△DFD'=,

所以VA-DFD'=S△DFD'·h=h=h.

由VA-DFD'=VD'-ADF,得h=,所以h=,故点A到平面EFD'C'的距离为.