广西专用高考数学一轮复习单元质检七不等式推理与证明含解析新人教A版文.

单元质检七　不等式、推理与证明

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.已知a>0,b>0,且成等差数列,则a+9b的最小值为(　　)

A.16 B.9 C.5 D.4

答案:A

解析:∵成等差数列,∴=1.

又a>0,b>0,∴a+9b=(a+9b)=10+≥10+2=16,

当且仅当,且=1,即a=4,b=时等号成立.

故选A.

2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理(　　)

A.结论正确 B.大前提不正确 

C.小前提不正确 D.全不正确

答案:C

解析:因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.

3.若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是(　　)

A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞)

答案:D

解析:画出约束条件所表示的平面区域(阴影部分),如图所示,

由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,

当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+2×1=4.

又因为z无最大值,所以z的取值范围是[4,+∞),故选D.

4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　)

A.[0,2] B.[-2,0] 

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

答案:D

解析:∵2x+2y=1≥2,

∴≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2.

5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　)

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

答案:B

解析:若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.

6.若实数a,b满足约束条件的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:A

解析:先根据实数a,b满足画出可行域.

设z=,

则z的几何意义为可行域内的点与点(0,0)连线的斜率,

由可得点A的坐标为(1,1).

在可行域内的点A(1,1)与O连线的斜率的值即为z=的最小值,最小值为1.故选A.

7.已知不等式>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是(　　)

A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,4) D.(4,+∞)

答案:C

解析:由题意,可变形得λ<(a-c)·=[(a-b)+(b-c)]·=1++1,因为a>b>c,所以1++1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.

8.已知关于x的不等式ax2-5x+b>0的解集为xx<-或x>,则不等式bx2-5x+a>0的解集为(　　)

A. B.

C.{x|-3<x<2} D.{x|x<-3或x>2}

答案:C

解析:由题意知a>0,且,-是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,∴

解得a=30,b=-5,

∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.

9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)

A.60件 B.80件 

C.100件 D.120件

答案:B

解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=≥2=20,当且仅当(x>0),即x=80时等号成立,故选B.

10.已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为(　　)

A. B.1 C. D.

答案:D

解析:实数x,y满足约束条件的可行域(阴影部分)如图所示.

已知a>0,由z=表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小.由解得A,z=的最小值为-,即=-,解得a=.故选D.

11.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=x-2y的最小值是(　　)

A.-5 B.-3 C.- D.0

答案:A

解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,

则A(a,2a),B(a,-2a),

S△ABO=×|a|×|4a|=2a2=4,

解得a=-(正值舍去),

所以A,

B.

由目标函数的几何意义可得,当z=x-2y过点B时取得最小值,此时z=x-2y=--2×2=-5.故选A.

12.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)

A.9 B.12 C.16 D.10

答案:C

解析:因为a>0,b>0,,所以m≤·(a+4b)=8+,8+≥8+2=16,当且仅当a=4b时等号成立.故m的最大值为16.

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.观察分析下表中的数据:

猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　　　　　　　. 

答案:F+V-E=2

解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.

14.已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为　　　　　. 

答案:lg 2

解析:∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg=lg(10x+1)≥lg2,当且仅当x=0时等号成立,∴f(x)的最小值为lg2.

15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sin x在区间(0,π)内是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:由题意知,凸函数f(x)满足≤f.

∵y=sinx在区间(0,π)内是凸函数,

∴sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin.

16.(2020江西南昌三模)已知x,y满足约束条件若z=x+2y的最小值为5,则实数m等于　　　　. 

答案:3

解析:作出不等式组所表示的平面区域如图所示.

设z=x+2y,则y=-x+z,

平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z在y轴上的截距最小,此时z=x+2y的最小值为5.

由解得A(1,2),同时点A在直线x-2y+m=0上,所以m=3.