广西专用高考数学一轮复习单元质检九解析几何含解析新人教A版文.

单元质检九　解析几何

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.

2.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是(　　)

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0

C.3x-4y+16=0

D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0

答案:D

解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,且m≠1,

由=3,解得m=16或m=-14.

即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.

3.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

答案:C

解析:过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.

4.(2020广东汕尾期末)记双曲线C:=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=(　　)

A.8 B.9 C.8或2 D.9或1

答案:B

解析:∵a=4,离心率为e==2,∴c=8.

根据题意e==2,解得m=48.

∵||MF2|-|MF1||=2a=8,

∴|MF2|=18或2,而|MF2|≥c-a=8-4,

故|MF2|=18.

∵点N满足,

∴N为MF1的中点,O是F1F2的中点,

则|ON|=|MF2|=9.故选B.

5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=.

因为c是a,m的等比中项,

所以c2=am,代入m=,解得e=.

6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是(　　)

A.y=-x+3 B.x=0或y=-x+3

C.x=0或y=x+3 D.x=0

答案:B

解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.

当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.

因为弦长为2,圆的半径为2,

所以弦心距为=1.

由点到直线距离公式得=1,解得k=-.

综上所述,所求直线方程为x=0或y=-x+3.

7.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)

A. B.1 C. D.

答案:D

解析:由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为(　　)

A.3 B.2或4 C.4 D.2

答案:B

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).

∴

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),

依题意x1≠x2,∴.

∵M为AB的中点,∴y1+y2=4.

又F在AB上,∴,

解得p=2或4.故选B.

9.设双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A.(1,) B.(,2) C.(1,2) D.(,+∞)

答案:B

解析:双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,当x=时,y=±,

所以不妨令A,B.

因为60°<∠AFB<90°,所以<kFB<1,

即<1,即<1.

所以<1,即1<e2-1<3,故<e<2.

10.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率e2=(　　)

A. B.2 C. D.3

答案:C

解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,

由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,

即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得=4,e1e2=1,

即有-4+3=0,解得e2=.

11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=(　　)

A.3 B.6 C.12 D.42

答案:B

解析:因为双曲线的离心率为2,

所以e2==4,即b2=3a2,

所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),

得x=p或x=0(舍去),故xA=xB=p.

又因为|AF|=xA+p+=7,所以p=6.

12.已知点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a>0)准线的距离为4.F为抛物线的焦点,点N(1,1).当点P在直线l:x-y=2上运动时,的最小值为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:∵点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,

∴2+=4,∴a=,∴抛物线C:x2=8y,

直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FA⊥l.

设AP=t,则|AN|=,|AF|=2,

|PN|=,|PF|=,

设-1=m(m≥-1),

则=,

∴m=-1,即当t=0时,的最小值为.

所以B选项是正确的.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:(x-1)2+y2=4

解析:抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

14.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　　. 

答案:(1,0)

解析:由题知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为(1,±2)(a>0).

又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4=4,即a=1.

所以抛物线的焦点坐标为(1,0).

15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. 

答案:y=±x

解析:抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,准线方程为y=-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.

所以y1+y2=p.

联立双曲线与抛物线方程得

消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.

所以y1+y2==p,所以.

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.

16.若关于x,y的方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:

①若C为椭圆,则1<t<4;

②若C为双曲线,则t>4或t<1;

③曲线C不可能是圆;

④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.

其中真命题是　　　　　.(把所有真命题的序号都填在横线上) 

答案:②

解析:若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0,且4-t≠t-1,

解得1<t<4,且t≠,所以①不正确;

若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;

若t=时,该曲线表示圆,所以③不正确;

若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解：(1)由得圆心C(3,2).

又因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

显然切线的斜率一定存在,

设所求圆C的切线方程为y=kx+3,

即kx-y+3=0,则=1,

所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.

所以k=0或k=-.

所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,

可设圆心C为(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),

则=2,整理得x2+(y+1)2=4.

设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,

所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,

所以2-1≤≤2+1,

由5a2-12a+8≥0,得a∈R.

由5a2-12a≤0,得0≤a≤,

因此圆C的横坐标a的取值范围为.

18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.

(1)求圆C的方程;

(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.

解：(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,

则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.

所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,

所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.

(2)设P(x0,y0),则(x0-4)2+=4,

由=4-(x0-4)2≥0,解得2≤x0≤6.

设A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为,

整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.

因为直线PA与圆C相切,可得=1,

化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.

同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,

所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,

即所以|AB|=|a-b|===2,

令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,

求得|AB|min=,|AB|max=.

因此|AB|的取值范围是.

19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.

(1)求k的取值范围;

(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.

解：(1)抛物线y=x2的焦点为.

由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),

令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).

因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,

所以1-k>,解得k<.

因为k>0,所以0<k<,即k的取值范围是.

(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.

理由如下:假设四边形ABDC为梯形.

由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),

联立方程

消去y,得x2-kx+k-1=0,

由韦达定理,得1+x1=k,所以x1=k-1.

同理,得x2=--1.

对函数y=x2求导,得y'=2x,

所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,

抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.

由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.

若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,

因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.

若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,

因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.

所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.

因此四边形ABDC不可能为梯形.

20.(12分)已知椭圆C:=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

答案：(1)解由题意得,b2=1,c=1,则a2=b2+c2=2.

因此椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则直线AP的方程为y=x+1.

令y=0,得点M的横坐标xM=-.

又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=.

同理,|ON|=.

由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,Δ>0,

则x1+x2=-,x1x2=.

所以|OM|·|ON|=

=

=

=2.

又|OM|·|ON|=2,所以2=2.

解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).

21.(12分)(2020广西玉林一模)已知F(0,1)为抛物线C:y=mx2(m≠0)的焦点.

(1)设A,动点P在抛物线C上运动,证明:|PA|+|PF|≥6.

(2)如图,直线l:y=x+t与抛物线C交于M,N两点(M在第一象限,N在第二象限),分别过M,N作l的垂线,这两条垂线与y轴的交点分别为D,E,求|DE|的取值范围.

答案：(1)证明由抛物线的方程可得焦点F的坐标为,由题意可得=1,

即m=,则抛物线的方程为x2=4y,点A的坐标为A(4,5),因此抛物线的准线方程为y=-1.

设P到准线的距离为d,由抛物线的性质可得|PF|=d,

因为A到准线的距离为5+1=6,

所以|PA|+|PF|=|PA|+d≥6.过A作准线的垂线交抛物线于P,此时取等号.

即|PA|+|PF|≥6.

(2)解由整理可得x2-2x-4t=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2)(x1>0,x2<0),

则x1+x2=2,x1x2=-4t<0,

故t>0,x1-x2=>2.

因为直线l的斜率为,

又DM⊥NM,所以直线DM的斜率为-2,

因此直线DM的方程为y-y1=-2(x-x1),令x=0可得yD=2x1+y1,

同理可得yE=2x2+y2,

因此|DE|=yD-yE=2(x1-x2)+(y1-y2)=2(x1-x2)+(x1-x2)=(x1-x2),

因为x1-x2>2,所以|DE|>5,

所以|DE|的取值范围为(5,+∞).

22.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

①求直线FP的斜率;

②求椭圆的方程.

解：(1)设椭圆的离心率为e.

由已知,可得(c+a)c=.

又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.

又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.

(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),

则直线FP的斜率为.

由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,

即x+2y-2c=0,

与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,

即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=c,有,

整理得3m2-4m=0,解得m=,

即直线FP的斜率为.

②由a=2c,可得b=c,

故椭圆方程可以表示为=1.

由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,

与椭圆方程联立消去y,

整理得7x2+6cx-13c2=0,

解得x=-(舍去)或x=c.

因此可得点P,进而可得|FP|=,

所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.

由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.

因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,

所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,

同理△FPM的面积等于,

由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,

整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.

所以,椭圆的方程为=1.