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广西专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版理
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这是一份广西专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版理，共18页。PPT课件主要包含了-2-，考点1，考点2，考点3，-3-，-4-，-5-，-6-，-7-，-8-等内容，欢迎下载使用。
利用导数证明不等式例1设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.思考利用导数证明不等式的基本思路是什么?
(1)解：由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= -1,令f'(x)=0解得x=1.当00,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明：由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x
解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)
(1)解:由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+ax.因为f(x)为减函数,所以ln x+ax≤0在区间(0,+∞)内恒成立.
当x变化时,g(x),g'(x)随x的变化情况如下表:
(2)证明:若f(x)存在两个不同的极值点x1与x2,且x2≥ex1>0,
例2设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0),h(t)为f(x)的最小值.(1)求h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,则h(t)<-2t+m在区间(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0,2)内恒成立,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在区间(0,2)内有最大值g(1)=1-m.∴1-m<0,得m>1.∴m的取值范围为(1,+∞).
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
对点训练2设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f'(x).(1)求函数g(x)的单调区间和最小值;
令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故函数g(x)的单调递增区间为(1,+∞).因此,g(x)在区间(0,+∞)内有唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
即ln a0都成立.由(1)知,当x>0时,g(x)的最小值为1,所以ln a<1,解得0
解:由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.∵g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.
对点训练3若2ln(x+2)-x2-x+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
解:令g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b,
当x∈(-2,+∞)时,g(x)与g'(x)随x的变化而变化的情况如下表:
利用导数证明不等式例1设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.思考利用导数证明不等式的基本思路是什么?
(1)解：由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= -1,令f'(x)=0解得x=1.当0
(2)证明：由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x
解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)
(1)解:由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+ax.因为f(x)为减函数,所以ln x+ax≤0在区间(0,+∞)内恒成立.
当x变化时,g(x),g'(x)随x的变化情况如下表:
(2)证明:若f(x)存在两个不同的极值点x1与x2,且x2≥ex1>0,
例2设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0),h(t)为f(x)的最小值.(1)求h(t);(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,则h(t)<-2t+m在区间(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0,2)内恒成立,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:
∴g(t)在区间(0,2)内有最大值g(1)=1-m.∴1-m<0,得m>1.∴m的取值范围为(1,+∞).
解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
对点训练2设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f'(x).(1)求函数g(x)的单调区间和最小值;
令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故函数g(x)的单调递增区间为(1,+∞).因此,g(x)在区间(0,+∞)内有唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.
即ln a
解:由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.∵g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.
对点训练3若2ln(x+2)-x2-x+b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
解:令g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b,
当x∈(-2,+∞)时,g(x)与g'(x)随x的变化而变化的情况如下表:
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