广西专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用2导数与函数的单调性课件新人教A版理
展开利用导数判断函数单调性的法则(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在此区间内是 ,(a,b)为f(x)的单调 区间. (2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在此区间内是 ,(a,b)为f(x)的单调 区间. 特别提醒:(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上单调递增(或递减)的充分条件.
问题思考对于函数y=f(x),若f'(x)≥0恒成立,你认为函数具有什么性质?
提示:(1)在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件应是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)(x∈(a,b))恒成立且f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.(2)如果f'(x)恒为0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( )(2)若函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.( )(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函数.( )
2.若函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )
3.(2020江苏连云港模拟)函数f(x)= x2-9ln x的单调递减区间是( )A.(0,3)B.(-∞,3)C.(3,+∞)D.(-3,3)
4.(2020北京平谷区期末)设函数f(x)=x+cs x,则f(x)是( )A.有一个零点的增函数B.有一个零点的减函数C.有两个零点的增函数D.没有零点的减函数
5.已知f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是 .
解题心得关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)若f'(x)>(或<)0,则f(x)单调递增(或递减).但要特别注意,若f(x)单调递增(或递减),则f'(x)≥(或≤)0.
考向一 求不含参数的函数的单调区间例2求f(x)=3x2-2ln x的单调区间.
解题心得求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y'=f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集所表示的定义域内为增函数.(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集所表示的定义域内为减函数.
考向二 求含参数的函数的单调区间例3讨论函数f(x)= ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0
解析:(1)由f'(x)=(x2+4x+2)ex<0,即x2+4x+2<0,
(2)解: f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
解法一 (直接法)f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在区间(-∞,1)和(a-1,+∞)内单调递增,在区间(1,a-1)内单调递减,由题意知(1,4)⊆(1,a-1)且(6,+∞)⊆(a-1,+∞),所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].
解法二 (数形结合法)如图所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].因为在区间(1,4)内,f'(x)≤0,在区间(6,+∞)内,f'(x)≥0,且f'(x)=0有一根为1,所以另一根在区间[4,6]上.
解得5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].
解法三 (转化为不等式恒成立问题)f'(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在区间(1,4)内单调递减,所以f'(x)≤0在区间(1,4)内恒成立.即a(x-1)≥x2-1在区间(1,4)内恒成立,所以a≥x+1,因为2
解题心得已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数的取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理:f(x)在区间(a,b)内是单调函数,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在区间(a,b)内是单调递增(减)函数,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立,注意验证等号在任意子区间上不恒成立.
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