高考数学一轮复习考点规范练3等式的性质与不等式的性质基本不等式含解析新人教版

考点规范练3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式

一、基础巩固

1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是(　　)

A.ad>bc 

B.ac>bd

C.a-c>b-d 

D.a+c>b+d

答案:D

解析:由不等式的同向可加性得a+c>b+d.

2.(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)

A.13 B.12 

C.9 D.6

答案:C

解析:由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,

则=3,

则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.

故|MF1|·|MF2|的最大值为9.

3.设a,b∈[0,+∞),A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)

A.A≤B B.A≥B 

C.A<B D.A>B

答案:B

解析:由题意知B2-A2=-20,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.

4.(2021全国Ⅰ,文8)下列函数中最小值为4的是 (　　)

A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+

C.y=2x+22-x D.y=lnx+

答案:C

解析:A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;

B项,设t=|sinx|,则y=t+,t∈(0,1].

因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意;

C项,y=2x+22-x=2x+,

设t=2x,则t>0,于是y=t+2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.

所以该项符合题意.

D项,因为当x∈(0,1)时,lnx<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.

5.(多选)已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是(　　)

A B.a+2b∈(21,78)

C.a-b∈(-12,45) D

答案:AC

解析:因为15<b<18,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6<a<60,即<4,故A正确;

因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B错误;

因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正确;

+1,故D错误.

6.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞)

B.(-∞,-4]∪[2,+∞)

C.(-2,4)

D.(-4,2)

答案:D

解析:因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y时等号成立.

由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,

即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.

7.已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　　. 

答案:4

解析:∵ab=1,∴b=

令+a=t>0,则原式=2=2=4.

当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时+a=4.

二、综合应用

8.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　)

A.ab有最大值

B有最大值

C有最小值2

D.a2+b2有最大值

答案:AB

解析:对于选项A,ab,当且仅当a=b=时取等号.故A正确.

对于选项B,()2=a+b+2a+b+a+b=2,

故,当且仅当a=b=时取等号.故B正确.

对于选项C,(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=时取等号.所以有最小值4.故C错误.

对于选项D,由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2,当且仅当a=b=时取等号.故a2+b2有最小值故D错误.

9.(2021天津北辰、津南四校联考)如图,计划在一块空地上种植面积为2 400 m2的草坪,草坪的四周留有人行通道.设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2 m,东西的人行通道宽3 m,如何设计草坪的边长才能使人行通道的占地面积最小?最小面积是(　　)

A.550 m2 B.538 m2 

C.528 m2 D.504 m2

答案:D

解析:设草坪的长(东西方向)为xm,则宽为m,

道路占用面积S=6+4x=+4x+24≥2+24=504,

当且仅当=4x,即x=60时,等号成立.

故道路占地最小面积为504m2.

10.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;

令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.

11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　. 

答案:

解析:因为2a>0,>0,所以2a+=2a+2-3b≥2=2,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.

因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.

所以2a+2,即2a+的最小值为

12.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-1)

解析:由ab2>a>ab,得a≠0.

当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;

当a<0时,有b2<1<b,即无解.

综上可得b<-1.

13.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　　. 

答案:

解析:∵5x2y2+y4=1,∴y≠0,且x2=,

∴x2+y2=+y2=2,当且仅当,即x2=,y2=时取等号.

∴x2+y2的最小值为

14.已知实数x,y满足-1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:令3x+2y=m(x+y)+n(x-y),

则解得

即3x+2y=(x+y)+(x-y).

由于-1<x+y<4,2<x-y<3,

则-(x+y)<10,1<(x-y)<,

所以-(x+y)+(x-y)<,

即-<3x+2y<

15.已知x>0,a为大于2x的常数.

(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;

(2)求y=-x的最小值.

解:(1)由于x>0,a>2x,则y=x(a-2x)=2x(a-2x),当且仅当x=时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为

(2)由于x>0,a>2x,则y=-x=2,当且仅当x=时取等号.

故y=-x的最小值为

三、探究创新

16.(2021浙江,8)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcosβ,sin βcosγ,sinγcosα三个值中,大于的个数的最大值是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:由基本不等式有sinαcos,

同理sinβcos,sinγcos,

故sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcos,

故sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不可能均大于

取α=,β=,γ=,

则sinαcosβ=,sinβcosγ=,sinγcosα=,

故三式中大于的个数的最大值为2.

17.设实数x,y满足3≤xy2≤8,49,则的最大值为　　　　　. 

答案:27

解析:令(xy2)n,则x3·y-4=x2m+n·y2n-m,

所以解得m=2,n=-1,所以(xy2)-1,由于49,3≤xy2≤8,则1681,,所以(xy2)-1∈[2,27],故的最大值为27.