高考数学一轮复习考点规范练15利用导数研究函数的单调性含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习考点规范练15利用导数研究函数的单调性含解析新人教版，共9页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
考点规范练15　利用导数研究函数的单调性一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.(2021浙江宁波模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　)答案:C解析:由题图可知函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合.3.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)在R上为增函数的充要条件是(　　)A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0答案:D解析:f'(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0.又f(x)在R上为增函数,∴f'(x)≥0在R上恒成立,∴Δ=(2b)2-4×3ac≤0,即b2-3ac≤0.4.(多选)下列函数中,在区间(-∞,+∞)上为单调递增函数的有(　　)A.f(x)=x4 B.f(x)=x-sin xC.f(x)=xex D.f(x)=ex-e-x-2x答案:BD解析:A选项,由f(x)=x4,得f'(x)=4x3,当x>0时,f'(x)=4x3>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)=4x3<0,f(x)单调递减,故排除A;B选项,由f(x)=x-sinx,得f'(x)=1-cosx,因为f'(x)≥0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=x-sinx在区间(-∞,+∞)上单调递增,故B满足题意;C选项,由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故排除C;D选项,由f(x)=ex-e-x-2x,得f'(x)=ex+e-x-2,因为f'(x)≥2-2=0恒成立,且不恒为零,所以f(x)=ex-e-x-2x在区间(-∞,+∞)上单调递增,故D满足题意.5.(2021云南昆明模拟)已知函数f(x)=-log2x,则不等式f(x)>0的解集是(　　)A.(0,1) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)答案:D解析:f(x)=-log2x的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=-<0,所以f(x)=-log2x在区间(0,+∞)上单调递减,又f(2)=-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2).6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0).(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为　　　　　; (2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是　　　　　. 答案:(1)　(2)解析:(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f'(4)=0,解得k=(2)f'(x)=3kx2+6(k-1)x(k>0),由题意知f'(4)≤0,解得k又k>0,故0<k7.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx(a≥1).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+lnx,由f'(x)=x-2+,得f'(1)=0,又f(1)=-,故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为2y+3=0.(2)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-(a+1)+若a=1,则f'(x)=0恒成立,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;若a>1,则当x∈(1,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)∪(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;综上可知,当a=1时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,当a>1时,函数f(x)在区间(1,a)内单调递减,在区间(a,+∞),(0,1)内单调递增.8.设函数f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f'(x)==因为f(x)在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=,f'(x)=,故f(1)=,f'(1)=,从而f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f'(x)=令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0,解得x1=,x2=当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)单调递减.由f(x)在区间[3,+∞)内单调递减,知x2=3,解得a≥-,故a的取值范围为二、综合应用9.已知函数f(x)=x3+2x2-x在区间内存在单调递增区间,则m的取值范围为(　　)A.[0,+∞) B.(-4,+∞)C.[-3,+∞) D答案:B解析:f'(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-1≥0在区间内有解.当m>0时,二次函数的图象开口向上,当m=0时,函数为y=4x-1,在区间上为增函数,即当m≥0时,mx2+4x-1≥0在区间内有解恒成立;当m<0时,由Δ>0,即16+4m>0,得-4<m<0,又二次函数图象的对称轴为x=-,故当-4<m<0时符合题意.综上所述,m>-4.10.(多选)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)+xf'(x)<xf(x)对x∈R恒成立,则下列选项不正确的是(　　)Af(2)>f(1) Bf(2)<f(1)C.f(1)>0 D.f(-1)>0答案:ACD解析:构造函数F(x)=,因为F'(x)=<0,所以函数F(x)=在R上为减函数.因为2>1,所以F(2)<F(1),即,即<f(1),故A符合题意,B不符合题意;因为F(1)<F(0),即<0,所以f(1)<0,故C符合题意;因为F(-1)>F(0),即>0,所以f(-1)<0,故D符合题意.11.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 答案:(0,1)∪(2,3)解析:由题意知f'(x)=-x+4-=-由f'(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.12.(2021广东广州二模改编)已知函数f(x)=xex+,且f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,则实数a的取值范围是　　　　　. 答案:(-1,3)解析:因为x∈R,f(-x)=-xe-x+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数.f'(x)=ex+xex+,x∈R,令g(x)=e2x(1+x)+1-x,则g'(x)=e2x(3+2x)-1,令h(x)=e2x(3+2x)-1,则h'(x)=e2x(8+4x).当x≥0时,h'(x)>0,所以h(x)在区间[0,+∞)上单调递增,h(x)≥h(0)=2>0,即g'(x)>0,所以当x≥0时,g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=2>0,所以f'(x)>0,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在x∈R上是增函数.由f(1+a)+f(-a2+a+2)>0,得f(1+a)>-f(-a2+a+2)=f(a2-a-2),所以1+a>a2-a-2,解得-1<a<3.13.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.解:(1)因为g(x)=lnx+ax2+bx,所以g'(x)=+2ax+b.由题意,得g'(1)=1+2a+b=0,所以2a+b=-1.(2)由(1)知g'(x)=(x>0).当a=0时,g'(x)=-由g'(x)>0,解得0<x<1,由g'(x)<0,解得x>1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=,若<1,即a>,则由g'(x)>0,解得x>1或0<x<,由g'(x)<0,解得<x<1,即函数g(x)在区间,(1,+∞)内单调递增,在区间内单调递减;若>1,即0<a<,则由g'(x)>0,解得x>或0<x<1,由g'(x)<0,解得1<x<,即函数g(x)在区间(0,1),内单调递增,在区间内单调递减;若=1,即a=,则在区间(0,+∞)内恒有g'(x)≥0,即函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减;当0<a<时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增;当a=时,函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当a>时,函数g(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.三、探究创新14.(多选)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增,且F(x)=在区间I上也单调递增,则称y=f(x)在区间I上“一致单调递增”.已知f(x)=x+,若函数f(x)在区间I上“一致单调递增”,则区间I可能是(　　)A.(-∞,-2) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(2,+∞)答案:AD解析:f(x)=x+,则f'(x)=;F(x)==1+,则F'(x)=当x∈(-∞,-2)时,f'(x)=>0,函数f(x)单调递增,F'(x)=>0,函数F(x)单调递增,故A满足;f'<0,故B不满足;F'(1)=-e<0,故C不满足;当x∈(2,+∞)时,f'(x)=>0,F'(x)=>0,故D满足.15.定义在区间(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且当x∈(0,+∞)时,2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则              (　　)A BC D答案:B解析:令g(x)=,x∈(0,+∞),则g'(x)=∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴0<,∴g'(x)>0,∴函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,∴又f(x)>0,令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴h'(x)=<0,∴函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴又f(x)>0,综上可得,,故选B.