高考数学一轮复习考点规范练57不等式选讲含解析新人教A版文

考点规范练57　不等式选讲

基础巩固

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;

(2)若∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.

解:(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,

当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;

当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;

当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥.

综上可得,f(x)≥3的解集为;

(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,

由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,

当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,

则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.

则实数a的取值范围为(-1,3).

2.(2020全国Ⅱ,文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;

(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.

解:(1)当a=2时,f(x)=

因此,不等式f(x)≥4的解集为.

(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.

所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.

当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

3.已知f(x)=+3|x-a|.

(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;

(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.

解:(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,

①当x≤-时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,

∴x≤-1;

②当-<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解;

③当x≥1时,3x+1+3(x-1)≥8,

∴x≥.

综上所述,f(x)≥8的解集为(-∞,-1]∪.

(2)f(x)=+3|x-a|≥=≥2≥m.

当且仅当=3a,

即a=时,等号成立,

故m的最大值为2.

4.设x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,证明:a≤-3或a≥-1.

答案:(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2

=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)]

≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],

故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,

当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.

所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.

(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2

=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)·(z-a)+(z-a)(x-2)]

≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],

故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,

当且仅当x=,y=,z=时等号成立.

因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.

由题设知,解得a≤-3或a≥-1.

5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m的值;

(2)若a,b,c都大于0,且=m,求证:a+2b+3c≥9.

答案:(1)解∵f(x+2)=m-|x|,

∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.

由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.

(2)证明由(1)知=1,

且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:

a+2b+3c=(a+2b+3c)

≥=9,

当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.

能力提升

6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.

(1)求不等式f(x)≤-6的解集;

(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=

则不等式f(x)≤-6等价于解得x≤-5或x≥7.

故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.

(2)作出函数f(x)的图象,如图.

若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,

则当a=-2时,△ABC的面积为×4×3=6.

∵f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,

∴该图形一定是四边形,即a<-2.

∵△ABC的面积是6,

∴梯形ABED的面积不小于8.

∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,

∴×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,即a2≥12.

又a<-2,∴a≤-2.

故实数a的取值范围是(-∞,-2].

7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.

(1)解不等式f(x)≥-2;

(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.

当x≤-2时,x-4≥-2,

即x≥2,故x∈⌀;

当-2<x<1时,3x≥-2,

即x≥-,

故-≤x<1;

当x≥1时,-x+4≥-2,

即x≤6,故1≤x≤6;

综上,不等式f(x)≥-2的解集为.

(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.

令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.

故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直线y=x-a时,联立

解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.

综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.

高考预测

8.已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.

(1)当a=-2时,解不等式f(x)>5;

(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.

解:(1)当a=-2时,f(x)=

由f(x)的单调性及f=f(2)=5,

得f(x)>5的解集为.

(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥.

由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得,

即a≥(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).

故a的最小值为.