高考数学一轮复习考点规范练6函数的单调性与最值含解析新人教A版理

考点规范练6　函数的单调性与最值

基础巩固

1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)

A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-

答案:B

解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.

2.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)

A.单调递增 B.单调递减 

C.先增后减 D.先减后增

答案:B

解析:因为函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.

所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0.

故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.

3.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

答案:B

解析:由f(x)在R上是增函数,则有

解得4≤a<8.

4.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为(　　)

A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞)

答案:B

解析:设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,

解得x≤-1或x≥3.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,

所以函数t在区间(-∞,-1]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增.

所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).

5.函数f(x)=在(　　)

A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数

B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数

C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数

D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数

答案:C

解析:由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},

f(x)=-1.

又根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.

6.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)

A.f>f()>f()

B.f>f()>f()

C.f()>f()>f

D.f()>f()>f

答案:C

解析:∵f(x)是R上的偶函数,

∴f=f(-log34)=f(log34).

又y=2x在R上单调递增,

∴log34>1=20>

又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

∴f(log34)<f()<f(),

∴f()>f()>f

故选C.

7.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

答案:B

解析:当x∈(1,+∞)时,y=log2x与y=均为增函数,故f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,

∴当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0;当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0.

8.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞) C D

答案:D

解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.

∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,

∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.

解得-<a≤2.

∴实数a的取值范围是故选D.

9.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 

答案:3

解析:因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,

所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

10.设函数f(x)=

(1)若a=0,则f(x)的最大值为　　　　　; 

(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

答案:(1)2　(2)(-∞,-1)

解析:令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.

由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.

可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).

又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象,如图所示.

(1)当a=0时,f(x)=可知f(x)的最大值是f(-1)=2.

(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1).

能力提升

11.已知函数f(x)=的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)

A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案:B

解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,

2.

∴f(x)的值域为[2,+∞).

∵y1=在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),

∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.

12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) 

C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

答案:D

解析:由题意可得a>x-(x>0).

令f(x)=x-,函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.

13.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为(　　)

A.[1,+∞) B.[0,] C.[0,1] D.[1,]

答案:D

解析:因为函数f(x)=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.

又当x≥1时,x-1+,

令g(x)=x-1+(x≥1),

则g'(x)=

由g'(x)≤0得1≤x,即函数x-1+在区间[1,]上单调递减,

故“缓增区间”I为[1,].

14.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,1]∪[4,+∞)

解析:画出f(x)=的图象,如图所示,

因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.

故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).

15.已知f(x)=(x≠a).

(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;

(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

答案:(1)证明当a=-2时,f(x)=(x≠-2).

设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,

f(x1)-f(x2)=

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).

∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

(2)解任设1<x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,

只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.

综上所述,a的取值范围是(0,1].

高考预测

16.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤1 B.a≥1 

C.a≤0 D.a≥0

答案:C

解析:当x时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.

依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.