高考数学一轮复习考点规范练21函数y=Asinωx+φ的图象及应用含解析新人教A版理

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考点规范练21　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 基础巩固1.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)A.T=6,φ= B.T=6,φ=C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=答案:A解析:最小正周期为T==6;由2sinφ=1,得sinφ=,又|φ|<,所以φ=2.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象(　　)A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度答案:C解析:∵y=cos(2x+1)=cos2,∴只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度即可.3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)A.5 B.6 C.8 D.10答案:C解析:因为sin[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减答案:A解析:将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin2x.当-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递增.当+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x+kπ,k∈Z时,y=sin2x单调递减,结合选项,可知y=sin2x在区间上单调递增.故选A.5.(2020全国Ⅰ,理7)设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为(　　)A. B. C. D.答案:C解析:由题图知f=cos=0,所以-ω++kπ(k∈Z),化简得ω=-(k∈Z).因为T<2π<2T,即<2π<,所以1<|ω|<2,解得-<k<-<k<.当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.所以ω=,最小正周期T=.6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=(　　)A B C D答案:C解析:由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为(　　)A BC D答案:B解析:根据所给图象,周期T=4=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过点,代入有2+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在单调递增④ω的取值范围是其中所有正确结论的编号是(　　)A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④答案:D解析:∵f(x)=sin(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+<6π,解得<,故④正确.画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确.当0<x<时,<ωx+,又<,,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.9.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　　. 答案:解析:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2ωx+φ)的图象,再向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象.由题意知sin=sinx,所以2ω=1,-+φ=2kπ(k∈Z),又-,所以ω=,φ=,所以f(x)=sin,所以f=sin=sin10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=　　　　　. 答案:解析:函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=11.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)=2sin的图象,则f(x)=　　　　　. 答案:-2cos 2x解析:由题意可知,把g(x)=2sin的图象向右平移个单位长度后,得到f(x)=2sin=2sin=-2cos2x的图象.12.设函数f(x)=sin,则下列命题:①f(x)的图象关于直线x=对称;②f(x)的图象关于点对称;③f(x)的最小正周期为π,且在区间上为增函数;④把f(x)的图象向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中真命题的序号为　　　　　. 答案:③④解析:对于①,f=sin=sin,不是最值,因此x=不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题是假命题;对于②,f=sin=1≠0,因此点不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题是假命题;对于③,函数f(x)的最小正周期为T==π,当x∈时,令t=2x+,显然函数y=sint在区间上为增函数,因此函数f(x)在区间上为增函数,故该命题是真命题;对于④,把f(x)的图象向右平移个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin=sin2x,是奇函数,故该命题是真命题.能力提升13.若关于x的方程2sin=m在区间上有两个不等实根,则m的取值范围是(　　)A.(1,) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,]答案:C解析:方程2sin=m可化为sin,当x时,2x+画出函数y=f(x)=sin在x上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)答案:A解析:由周期T==π,得ω=2.当x=时,f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin所以f(0)=Asin>0,f(2)=AsinAsin4+cos4<0,f(-2)=Asin=-Asin4+cos4.因为f(2)-f(-2)=Asin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin=-Asin4-+,因为π<4-<π+,所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.15.现将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上均单调递增,则实数a的取值范围是(　　)A B C D答案:C解析:∵函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,∴g(x)=sin=sin,由2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,可得kπ-x≤kπ+,k∈Z,即函数g(x)的递增区间为,k∈Z.又函数g(x)在区间上均单调递增,解得a<16.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为　　　　　. 答案:解析:∵函数f(x)的图象关于点对称,∴2+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-,k∈Z.∴f(x)=cos,k∈Z.∵f(x)的图象向右平移m个单位长度得到函数y=cos,k∈Z为偶函数,∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k∈Z,k1∈Z),∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.17.已知函数y=3sin(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.解:(1)列表:xx-0π2π3sin030-30描点、连线,如图所示:(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象,再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位,得到y=sin=sin的图象,最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.高考预测18.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin的图象,只要将y=f(x)的图象(　　)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度答案:C解析:∵f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,∴ω=2.∴f(x)=sin2x,g(x)=sin∴将y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,故选C.