高考数学一轮复习考点规范练24解三角形含解析新人教A版理

考点规范练24　解三角形

基础巩固

1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(　　)

A B.1 C D.2

答案:B

解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.

2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形  B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

答案:D

解析:∵acosA=bcosB,

∴sinAcosA=sinBcosB,

∴sin2A=sin2B,

∴A=B或2A+2B=180°,

即A=B或A+B=90°,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.

3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)

A B.4 C.3 D

答案:A

解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,

∴cosB=,∴B=

又S=ac·sinB=1×c,∴c=4.

又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4=13,

∴b=

4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.75°

答案:B

解析:依题意可得AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,

得cos∠CAD=,

又0°<∠CAD<180°,

所以∠CAD=45°,

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)

A.7.5 B.7 C.6 D.5

答案:D

解析:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,

∴由余弦定理可得b+a=c2,整理可得2c2=2c3,

解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.

6.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是(　　)

A.直角三角形  B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案:D

解析:∵△ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=

∵sinA,sinB,sinC成等比数列,

∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos,

∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.

∴△ABC为等边三角形.

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　. 

答案:6

解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c=62,

即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).

∴a=2c=4

∴S△ABC=acsinB=42=6

8.(2020全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　. 

答案:-

解析:由题意得BD=AB=,BC==2.

∵D,E,F重合于一点P,

∴AE=AD=,BF=BD=,

∴在△ACE中,由余弦定理,

得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+()2-2×1×cos30°=1,

∴CE=CF=1.

∴在△BCF中,由余弦定理,得

cos∠FCB==-.

9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB= km,则C,D之间的距离为　　　　　. 

答案: km

解析:在△ABD中,

∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,

由正弦定理可得,

即,

∴AD=(km),

由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,

∴BC=AB=km,∴AC=3km,

在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=km.

10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?

解:设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,

依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.

又由正弦定理得sin∠ABC=,所以∠ABC=38°.

又∠BAD=38°,所以BC∥AD.

故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.

能力提升

11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(　　)

A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2

答案:B

解析:∵b2+c2-a2=bc,

∴cosA=,∴A=30°.

∵b=a,∴sinB=sinA=,

∴B=60°或B=120°.

当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;

当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.

12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)

A.4 B.2 C.2 D

答案:A

解析:∵在△ABC中,,

∴(2a-c)cosB=bcosC.

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.

∴cosB=,即B=

由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,

故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,

因此,△ABC的面积S=acsinB=ac≤4,故选A.

13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tan B=-,那么=　　　　　. 

答案:

解析:在△ABC中,∵tanB=-,

∴sinB=,cosB=-

又S△ABC=acsinB=2c=8,∴c=4,

∴b=

14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A.

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

解:(1)由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.

因为sinA≠0,所以sin=sinB.

由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos=2sincos

因为cos0,故sin,因此B=60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.

由正弦定理得a=

由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.

由(1)知A+C=120°,

所以30°<C<90°,

故<a<2,从而<S△ABC<

因此,△ABC面积的取值范围是

高考预测

15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2.

(1)求角A;

(2)若a=2,b=2,求角C.

解:(1)∵△ABC中,b2+c2-a2=4S=4bcsinA=2bcsinA,

∴cosA=sinA,∴tanA=,

∵0<A<π,∴A=

(2)∵a=2,b=2,A=,

∴由得sinB=,

∵0<B<,且B>A,∴B=,

∴C=