高考数学一轮复习考点规范练33二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析新人教A版理

考点规范练33　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础巩固

1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为(　　)

A.2 B.1 C.3 D.0

答案:B

解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,即(b-2)<0,解得<b<2,则b应取的整数值为1.

2.若x,y满足则x+2y的最大值为(　　)

A.1 B.3 C.5 D.9

答案:D

解析:由题意画出可行域(如图).

设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9.故选D.

3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为(　　)

A.6 B.19 C.21 D.45

答案:C

解析:作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示.

由解得点A的坐标为(2,3).

由z=3x+5y,得y=-x+

由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.

所以z的最大值zmax=3×2+5×3=21.

4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A.-1 B.1 C D.2

答案:B

解析:可行域如图(阴影)所示,

由

得交点A(1,2),当直线x=m经过点A(1,2)时,m取到最大值为1.

5.如图,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　)

A B

C.2 D

答案:B

解析:直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.

∵kAC=-,∴-a=-,即a=

6.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限内.若点(x,y)在△ABC的内部,则z=-x+y的取值范围是(　　)

A.(1-,2) B.(0,2) C.(-1,2) D.(0,1+)

答案:A

解析:由顶点C在第一象限内,且与点A,B构成正三角形,可求得点C的坐标为(1+,2).

将目标函数z=-x+y化为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,故z的取值范围为(1-,2).

7.已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是(　　)

A B-1 C D.1

答案:D

解析:约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)所示.

x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示点(-1,0)到可行域内任一点距离的平方再减1,由图可知当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.

8.(2020全国Ⅰ,理13)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为　　　　　. 

答案:1

解析:画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y变形可得y=-x+z,平移直线y=-x.

由图可得z在点A处取得最大值.

由

所以A(1,0),所以zmax=1+7×0=1.

9.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是　　　　　万元. 

答案:27

解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y(万元).

由题意得

此不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示.

由图可知当y=-x+经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=27(万元).

10.已知x,y满足约束条件z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=　　　　　. 

答案:1

解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,

结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,

所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k.

根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.

11.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　. 

答案:

解析:由约束条件画出可行域,如图(阴影部分)所示.

由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=

12.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.

解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,

则z=300x+400y,

在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2800,即该公司可获得的最大利润是2800元.

能力提升

13.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)

A或-1 B.2或

C.2或1 D.2或-1

答案:D

解析:(方法一)由题中条件画出可行域,如图(阴影部分)所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.

(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.

14.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(　　)

A.-3 B.1 C D.3

答案:B

解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为△ABC.

由解得则A(2,0).

由解得

则B(1-m,1+m).

同理C,M(-2m,0).

S△ABC=S△ABM-S△ACM=(2+2m),由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).

15.已知变量x,y满足若方程x2+y2+6y-k=0有解,则实数k的最小值为　　　　　. 

答案:-

解析:作出约束条件表示的可行域,如图所示,

由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k.

问题可转化为求可行域内的点到定点C(0,-3)的距离最小时实数k的值,

结合图形,点C到直线x+2y+2=0的距离d=为所求,

则9+k=,解得k=-

16.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?

解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为

即

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分:

图①

(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.

考虑z=60x+25y,将它变形为y=-z+,

这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.

又因为x,y满足约束条件,所以由图②可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.

解方程组得点M的坐标为(6,3).

所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

图②

高考预测

17.若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为(　　)

A.4 B C.6 D

答案:B

解析:作出题中约束条件表示的可行域,如图(阴影部分)所示,

由z=3x+2y可得y=-x+

指的是直线y=-x+在y轴上的截距,根据图形可知,当直线y=-x+通过点A时,可使取得最小值,即z取得最小值.

易知点A的坐标为,

所以zmin=3×1+2