高考数学一轮复习考点规范练36直接证明与间接证明含解析新人教A版理

考点规范练36　直接证明与间接证明

基础巩固

1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)

A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-0

C-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0

答案:D

解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.

2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:a”索的因应是(　　)

A.a-b>0 B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

答案:C

解析:a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.

3.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设(　　)

A.x,y都不为0  B.x≠y,且x,y都不为0

C.x≠y,且x,y不都为0 D.x,y不都为0

答案:D

解析:原命题的结论是x,y都为零,利用反证法时,应假设x,y不都为零.

4.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是(　　)

A.a+b>1 B.a+b>2 C.a2+b2>2 D.ab>1

答案:B

解析:若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故A推不出;

若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故C推不出;

若a=-2,b=-3,则ab>1,故D推不出;

对于B,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,

反证法:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,

因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.

5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(　　)

A.都大于2  B.都小于2

C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

答案:D

解析:∵a>0,b>0,c>0,

6,当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.

6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)

A.恒为负值 B.恒等于零

C.恒为正值 D.无法确定正负

答案:A

解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.

7.设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是　　　　　. 

答案:m<n

解析:(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,得m<n.

(方法二:分析法)因为a>b>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断与1的大小关系,只需判断与1的大小关系,只需判断a+b-2-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2与0的大小关系,只需判断与0的大小关系.由a>b>0,可知<0,即<1,即可判断m<n.

8.与2的大小关系为　. 

答案:>2

解析:要比较与2的大小,只需比较()2与(2)2的大小,只需比较6+7+2与8+5+4的大小,只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,

∵42>40,>2

9.设函数f(x)=,a,b∈(0,+∞).

(1)用分析法证明:f+f;

(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于

答案:证明(1)要证明f+f,

只需证明,

只需证明,即证,

即证(a-b)2≥0,这显然成立,所以f+f

(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于,

即,

所以2a≤b+2,2b≤a+2,两式相加得a+b≤4,

这与a+b>4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于

能力提升

10.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

答案:D

解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.

由

得

则A2+B2+C2=,

这与三角形内角和为180°相矛盾.

因此假设不成立,

故△A2B2C2是钝角三角形.

11.已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,要使得a+b≥μ恒成立,则μ的取值范围是　　　　　.

答案:(0,16]

解析:∵a,b∈(0,+∞),且=1,∴a+b=(a+b)=10+10+2=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).

∴a+b的最小值为16.

∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.

12.已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有f

答案:证明要证f,

即证-2,因此只要证-(x1+x2)-(x1+x2),

即证,因此只要证,

由于x1,x2∈R时,>0,>0,

因此由基本不等式知显然成立,

故原结论成立.

高考预测

13.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,应假设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于,用反证法证明时,应假设|f(1)|,且|f(2)|以下说法正确的是(　　)

A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确,②的假设错误 D.①的假设错误,②的假设正确

答案:C

解析:①p+q≤2的否定应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于,即|f(1)|<,|f(2)|<,故②的假设错误.故选C.