高考数学一轮复习考点规范练38空间几何体的结构及其三视图和直观图含解析新人教A版理

考点规范练38　空间几何体的结构及其三视图和直观图

基础巩固

1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(　　)

A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

答案:A

解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱的正视图是圆或矩形.

2.(2020全国Ⅱ,理7)下图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为(　　)

A.E B.F C.G D.H

答案:A

3.某几何体的正视图和侧视图均为如图(1)所示的图形,则在图(2)的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)

图(1)

图(2)

A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④

答案:A

解析:由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确.

4.(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',

则有

因此有h'2-ah',

化简得4-2-1=0,

解得.(负值舍去)

5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A.3 B.2 C.2 D.2

答案:B

解析:由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),

最长的棱为正方体的体对角线AE==2

故选B.

6.如图,Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=1,则△ABC的面积为(　　)

A B.2 C D.2

答案:B

解析:由题意结合直观图的画法,可知△ABC是底为BC=2,高为AO=2的三角形,

则其面积S△ABC=BC·AO=2×2=2

7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是(　　)

答案:D

解析:易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形,结合A,B,C,D选项知,D选项中侧视图、俯视图方向错误,故选D.

8.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角(如图①,A,B,C分别是△GHI三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为(　　)

图①

图②

答案:A

解析:因为平面DEHG⊥平面DEF,所以该几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.

9.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC.已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为　　　　　. 

答案:

解析:设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为a×h=

10.利用斜二测画法得到的以下结论,其中正确的是　　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

①三角形的直观图是三角形;

②平行四边形的直观图是平行四边形;

③正方形的直观图是正方形;

④圆的直观图是椭圆;

⑤菱形的直观图是菱形.

答案:①②④

解析:①正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故③错误;④正确;原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故⑤错误.

11.给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.

其中真命题的序号是　　　　　. 

答案:①

解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;②错误,反例如图所示,底面△ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面.

12.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　. 

图1

图2

答案:26　-1

解析:由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=x,所以GH=2x+x=(+1)x=1,解得x=-1,即该半正多面体的棱长为-1.

能力提升

13.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(　　)

答案:D

14.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)

A.6 B.9 C.12 D.18

答案:B

解析:由三视图可推知,几何体的直观图如图所示,

可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,

故所求几何体的体积为3=9.

15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点,则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为(　　)

A.1 B

C D.2

答案:D

解析:在正视图中,底面B,C,D三点,其中D与C重合,随着点P的变化,其正视图均是三角形,且点P在正视图中的位置在边A1D1上移动,由此可知,设正方体的棱长为a,则S正视图=a2;设A1C1的中点为O,随着点P的移动,在俯视图中,易知当点P在OC1上移动时,S俯视图就是底面三角形BCD的面积,当点P在OA1上移动时,点P越靠近A1,俯视图的面积越大,当到达A1的位置时,俯视图为正方形,此时俯视图的面积最大,S俯视图=a2,所以三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为=2.

16.已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形,则该正三棱柱的体积是　　　　　　　　　　. 

答案:或3

解析:当正三棱柱的高为6时,底面边长为1,V=1×16=;当正三棱柱的高为3时,底面边长为2,V=2×23=3

17.如图,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是　　　　　.(填序号) 

答案:②③

高考预测

18.某三棱锥的正视图如图所示,则下列图①②③④,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是(　　)

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

答案:D

解析:①②③④的模型分别如图(1)、图(2)、图(3)、图(4)所示,故选D.

图(1)

图(2)

图(3)

图(4)