高考数学一轮复习考点规范练51抛物线含解析新人教A版理

考点规范练51　抛物线

基础巩固

1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(　　)

A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)

答案:B

解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,

因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,

所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.

2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　)

A.- B.- C D

答案:B

解析:抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=

设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=-

3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为(　　)

A.2 B.4 C.8 D.16

答案:B

解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.

4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为(　　)

A.2 B.4 C.5 D.6

答案:A

解析:∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选A.

5.(2020全国Ⅲ,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则抛物线C的焦点坐标为(　　)

A. B. C.(1,0) D.(2,0)

答案:B

解析:∵抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,

又OD⊥OE,∴△ODE是等腰直角三角形.

不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,

所以抛物线C的焦点坐标为.

6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为(　　)

A.6 B.5 C.4 D.3

答案:A

解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,

则|OB|=|AF|,

∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,

∴|BN|=3,∴|AM|=6,故选A.

7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　　. 

答案:9

解析:设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.

8.(2020山东,13)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,

直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.

|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x1++x2+=x1+x2+p.

由得3x2-10x+3=0,

∴x1+x2=,∴|AB|=+2=.

9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+,求λ的值.

解:(1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,

即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,

于是y1=-2,y2=4,

从而A(1,-2),B(4,4).

设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4-2).

又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,

则点P(x,y)满足-x=1(x>0),化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).

设l的方程为x=ty+m.

由得y2-4ty-4m=0,

Δ=16(t2+m)>0,

于是

因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),

所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

又<0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③

因为x=,所以不等式③可变形为

+y1y2-+1<0,

即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.④

将①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤

因为对任意实数t,4t2的最小值为0,

所以不等式⑤对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,

即3-2<m<3+2

由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).

能力提升

11.设F为抛物线y2=6x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=(　　)

A.4 B.6 C.9 D.12

答案:C

解析:由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).

=0,∴点F是△ABC的重心,

∴x1+x2+x3=

由抛物线的定义可得

|FA|=x1-=x1+,

|FB|=x2-=x2+,

|FC|=x3-=x3+,

∴||+||+||=x1++x2++x3+=9.

12.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=(　　)

A.3 B.6 C.6 D.8

答案:C

解析:∵3|FA|=|FB|,∴根据抛物线的定义,

可得3=8+,解得p=2,

∴抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,

得x1=2,x2=4,

∴x1+x2=6故选C.

13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|,若=2,则|AF|=　　　　　. 

答案:1

解析:由抛物线的定义得|MF|=x0+

∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.

∵圆被直线x=截得的弦长为|MA|,

圆心到直线x=的距离为|MA|,

∴|MA|=2,

∴2=x0,解得x0=p.

∴M(p,2),∴2p2=8,∴p=2.

=2,∴|AF|=|MA|=p=1.

14.设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.

答案:(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.

(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).

设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,

则l2:y=-k(x-1)+2,

由

得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,

∴x1×1=,

同理x2=

∴x1+x2=,x1-x2=-

∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=

∴kMN==-1,直线MN的斜率为定值-1.

高考预测

15.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为(　　)

A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x

答案:B

解析:过点A作AB⊥x轴于点B,则Rt△ABF中,∠AFB=60°,|AF|=2,

所以|BF|=|AF|cos∠AFB=|AF|=1,|AB|=|AF|sin∠AFB=

设点A的坐标为(x0,,

由解得p=1.

所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.