人教A版 (2019)第七章 复数7.3* 复数的三角表示单元测试同步达标检测题

7.3 复数的三角表示

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·山西怀仁·高一期中）已知复数则（       ）

A． B． C． D．

2．（湖北省七市（州）2022届高三下学期3月联合统一调研）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（       ）

A． -1 B．1 C．- D．

3．（2021·上海市延安中学高一期末）的三角形式是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2021·全国·高一课时练习）把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（       ）

A．2 B．－2i

C．－3－i D．3－i

5．（2021·广东惠州·高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（2021·全国·高一课时练习）设，，则（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）

A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于

C．为纯虚数 D．

10．（2021·全国·高一课时练习）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）

A．若，则有

B．若，，则

C．若，则

D．设，则在复平面上对应的点在第一象限

11．（2021·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若复数的虚部为，，则的实部为

D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为

12．（2021·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）

A．

B．当，时，

C．当，时，

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2021·全国·高一课时练习）_____.

14．（2021·全国·高一课时练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.

15．（2021·全国·高一单元测试）设，，则的三角形式为___________.

16．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022·湖南·高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

18．（2021·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值．

19．（2022·湖南·高一课时练习）化简：

(1)；

(2)．

20．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．

21．（2021·全国·高一课时练习）已知复数．

(1)求及；

(2)当复数z满足，求的最大值．

22．（2021·全国·高一课时练习）设，求的取值范围．