2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列各式中，与是同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 分式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是

A. 两组对边分别相等 B. 两组对角分别相等
C. 两条对角线互相平分 D. 两条对角线相等

5. 如图，已知中，，是的中位线，，则

A.
B.
C.
D.

6. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，矩形的边长为，边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
    

A.  B.  C.  D.

9. A、、分别表示三个村庄，米，米，米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心的位置应在

A. 中点 B. 中点
C. 中点 D. 的平分线与的交点

10. 下列各组数中，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

11. 如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

12. 如图所示，在中，，，，为上一动点不与、重合，作于点，于点，连接，则的最小值是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 化简 ______ ．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
15. 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为______．
    
     

16. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______．
17. 在平行四边形中，于，于，，，平行四边形的周长为，则平行四边形的面积为______．
     

18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上在轴上，，，对角线的垂直平分线交于点，交于点若轴上有一点不与点重合，能使是以为为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．
    
     

三．解答题（本题共7小题，共56分）

19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．
    这个梯子的顶端距地面有多高？
    如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了吗？
     

22. 六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
    求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
    该服装品牌每套售价为元，品牌每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，要使总的获利不低于元，则最少购进品牌的服装多少套？
23. 如图，在中，是边上任意一点，是边中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，．
    
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求的长．
24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，求；
    在的条件下，若，求的面积．

25. 在直角三角形中，，，，有一动点以的速度从点出发向终点运动，同时还有一动点以的速度也从点出发，向终点运动，连接，并且，以、为邻边作平行四边形，设动点的运动时间为．

______ 用含的代数式表示；
当点在的平分线上时，求此时的值；
当四边形是平行四边形时，求的值；
连接，直接写出当是等腰三角形时的值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，
与是同类二次根式的是．
故选：．
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
本题考查了同类二次根式的定义，把各个选项化简是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选A．
根据分式有意义的条件：分母不等于，即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】

【解析】解：、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；
B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；
C、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的，故本选项不符合；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
故选：．
根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
 

5.【答案】

【解析】解：是的中位线，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形的面积，
故选：．
由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，再根据矩形的对角线互相平分解答．
【解答】

解：在矩形 中， ，
， ，
，
．
故选 A ．

8.【答案】

【解析】解：由勾股定理可知，
，
这个点表示的实数是．
故选：．
本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．
 

9.【答案】

【解析】解：，，，
，
为以为斜边的直角三角形，
当点在的中点时，，
故选：．
根据勾股定理的逆定理得到为以为斜边的直角三角形，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解： 、 ， 不能构成直角三角形，故 A 错误；
B 、 ， 能构成直角三角形，故 B 正确；
C 、 ， 不能构成直角三角形，故 C 错误；
D 、 ， 不能构成直角三角形，故 D 错误．
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，可以证明四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、，不能证明四边形是平行四边形，故本选项正确；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、根据可得：，，又由可得：，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定，故本选项错误；
故选：．
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形．

 

12.【答案】

【解析】解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得．
故选：．
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
 

13.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为．
先把化为，再根据同分母的分式相加的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减运算，把化为是解题的关键，题目比较容易．
 

14.【答案】

【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于，列出不等式即可求出的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，
，，，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：为的中位线，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
设为，，
，
解得，
平行四边形的面积为．
故答案为．
由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以即为平行四边形的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，面积等于底高．
 

18.【答案】或或

【解析】解：对角线的垂直平分线交于，
，
，，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
，
设点坐标为，
是以为腰的等腰三角形，
当，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
点的坐标为或或
故答案为：或或
设，根据勾股定理求出的值，得出点的坐标，进而利用勾股定理得出方程解答即可．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求出的值是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：

，
当，时，原式
．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，，
．
答：这个梯子的顶端距地面．
梯子的底部在水平方向滑动了不止．
在中，，，
，
．
答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．

【解析】在中，利用勾股定理可求出的长度，此题得解；
在中，利用勾股定理可求出的长度，用其减去的长度即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用勾股定理求出；利用勾股定理求出．
 

22.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：品牌服装每套进价为元，品牌服装每套进价为元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套．

【解析】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
 

23.【答案】证明：，
．
是中点，
．
，
≌．
．
四边形是平行四边形．

解：如图，作于点，

四边形是平行四边形，，
，．
在中，，
在中，，
，
．

【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
欲证明四边形是平行四边形只要证明，即可；
如图，作于点，解直角三角形即可；
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，平分，
，
，
又，
，
又矩形的对角线互相平分且相等，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
解：作于．
四边形是矩形，
，，，，，
，
，
，
，，
，
平分，，
，
在中，，
的面积．

【解析】由平行线的性质易证，得出，即可得出结论；
由矩形和角平分线的性质得出，则，推出，证明是等边三角形，求出，得出，即可得出结果；
作于求出、的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】

【解析】解：动点以的速度从点出发向终点运动，
，
，
故答案为；
如图，过点作于，

动点以的速度也从点出发，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，
又，
点在上，
如图，连接，

四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
如图，延长交于，过点作于，

由可知四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
若时，则，
或舍去，
若时，则，
，
若时，则，
或舍去，
综上所述：当是等腰三角形时，或或．
由路程速度时间可求解；
过点作于，由平行四边形的性质和角平分线的性质可求，，的长，即可求解；
先判断点在上，由勾股定理可求解；
用分别表示，，的长，分三种情况，由等腰三角形的性质列出方程可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和想在，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．