高考数学一轮复习考点规范练2不等关系及简单不等式的解法含解析新人教A版文

考点规范练2　不等关系及简单不等式的解法

基础巩固

1.设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)

A.ac>bc B. C.a2>b2 D.a3>b3

答案:D

解析:∵a>b,当c<0时,ac<bc,故A错;

当a>0,b<0时,显然满足a>b,

此时,故B错;

当b<a<0时,a2<b2,故C错;

∵幂函数y=x3在R上是增函数,

∴当a>b时,a3>b3.故选D.

2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

答案:D

解析:当a=0时,满足条件.

当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,

可知得0<a≤4.

综上,可知0≤a≤4.

3.设a,b∈[0,+∞),A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)

A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B

答案:B

解析:由题意知B2-A2=-2≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.

4.若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是(　　)

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

答案:C

解析:因为<0,故可取a=-1,b=-2.

因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;

因为lna2=ln(-1)2=0,lnb2=ln(-2)2=ln4>0,

所以④错误.

综上所述,②④错误,故选C.

5.已知α∈,β∈,则2α-的取值范围是(　　)

A. B.

C.(0,π) D.

答案:D

解析:由题意得0<2α<π,0≤,

∴-≤-≤0,∴-<2α-<π.

6.已知不等式x2-3x<0的解集是A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,则a=(　　)

A.-2 B.1 C.-1 D.2

答案:A

解析:解不等式x2-3x<0,得A={x|0<x<3}.解不等式x2+x-6<0,得B={x|-3<x<2}.又不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B={x|0<x<2},由根与系数的关系得-a=0+2,所以a=-2.

7.不等式<0的解集为(　　)

A.{x|1<x<2}  B.{x|x<2,且x≠1}

C.{x|-1<x<2,且x≠1} D.{x|x<-1或1<x<2}

答案:D

解析:因为不等式<0等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,

所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.

8.若对任意x∈R,不等式mx2+2mx-4<2x2+4x恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-2,2]  B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪[2,+∞)  D.(-∞,2]

答案:A

解析:原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,

①当m=2时,对任意x∈R,不等式都成立;

②当m≠2时,由不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,

可知解得-2<m<2.

综上①②,得m∈(-2,2].

9.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为(　　)

答案:B

解析:(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.

所以f(x)=-x2-x+2.

所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.

(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.

又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,

所以y=f(-x)的图象如图所示.

10.函数y=的定义域是　　　　　　　　　. 

答案:(-∞,-4]∪[3,+∞)

解析:由x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0,故x≤-4或x≥3.

11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是　　　　　　　. 

答案:

解析:∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,

∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.

∴a2+b2-2b≥+b2-2b

=≥-.

∴a2+b2-2b的取值范围是.

12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,1)

解析:函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴方程为x=-.

①当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在.

②当-1≤≤1,即2≤k≤6时,

f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.

③当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.

综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.

能力提升

13.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是(　　)

A. B.

C. D.

答案:A

解析:由题意可知方程f(x)=0的两个解是x1=-1,x2=3,且a<0.

由f(-2x)<0得-2x>3或-2x<-1,

解得x<-或x>.

14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(1,+∞) B.

C.  D.

答案:D

解析:当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;

当a≠±1时,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,

可知解得-<a<1.

综上可知-<a≤1.

15.已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是(　　)

A.x>2,且y>2  B.x<2,且y<2

C.0<x<2,且0<y<2 D.x>2,且0<y<2

答案:C

解析:由题意得

由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,

得

又xy<4,可得故选C.

16.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解可转化为a>-x在区间[1,5]上有解.

令f(x)=-x,可得f'(x)=--1.

当x∈[1,5]时,f'(x)<0,即f(x)在区间[1,5]上是减函数.

所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(5)=-5=-.

所以a>-.

17.若对一切x∈(0,2],不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0恒成立,则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:∵x∈(0,2],∴a2-a≥.

要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,

则a2-a≥.

由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,

即,故a2-a≥,解得a≤或a≥.

高考预测

18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(　　)

A.-1<b<0 

B.b>2

C.b<-1或b>2 

D.不能确定

答案:C

解析:由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即=1,故a=2.

又可知f(x)在区间[-1,1]上为增函数,故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.

当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.