高考数学一轮复习考点规范练22三角恒等变换含解析新人教A版文

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考点规范练22　三角恒等变换基础巩固1.=(　　)A.- B.-1 C. D.1答案:D解析:原式=2×=2×=2sin30°=1.故选D.2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)A. B.-C.或0 D.-或0答案:C解析:因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=.若cosα=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.若tanα=,则tan2α=.综上所述,故选C.3.已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=,则φ的值不可能为(　　)A. B. C. D.答案:B解析:∵f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+sin,∴,即ω=2,∴f(x)=sin.平移后的函数为g(x)=sin=sin.由题意,得4·+4φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=,k∈Z,故选B.4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为(　　)A.π,[0,π] B.2π,C.π, D.2π,答案:C解析:由f(x)=sin2x+sinxcosx=sin2x==sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.5.已知5sin 2α=6cos α,α∈,则tan =(　　)A.- B. C. D.答案:B解析:由题意,知10sinαcosα=6cosα,又α∈,∴sinα=,cosα=,∴tan=.6.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)A. B.- C.- D.-答案:C解析:=2cosα,由tan=-,得=-,解得tanα=-3.因为<α<π,所以cosα=-.所以原式=2cosα=2=-.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为(　　)A. B.- C. D.-答案:D解析:由题意知,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2×=-.故选D.8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. 答案:　1解析:因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1,所以A=,b=1.9.已知α,β均为锐角,且tan α=,cos(α+β)=-.(1)求cos 2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解:(1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos=-,所以sin(α+β)=,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-.因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.10.已知函数f(x)=sin+cos-2sin2(ω>0)的周期为π.(1)求ω的值;(2)若x∈,求f(x)的最大值与最小值.解:(1)∵函数f(x)=sin+cos-2sin2=sinωxcos-cosωxsin+cosωxcos+sinωxsin-2·sinωx+cosωx-1=2sin-1(ω>0),∴f(x)的周期为=π,∴ω=2.(2)∵x∈,∴2x+.∴sin.∴f(x)的最大值为1,最小值为-2.11.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,π)内的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.∵f(x)的图象过点,即1=asin+cos,可得a=1.∴f(x)=sin2x+cos2x=sin.∴函数f(x)的最小正周期T==π.(2)由2kπ+≤2x++2kπ,k∈Z,可得kπ+≤x≤+kπ,k∈Z.函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.∵x∈(0,π),∴当k=0时,可得单调递减区间为.能力提升12.已知m=,若sin[2(α+γ)]=3sin 2β,则m=(　　)A.-1 B. C. D.2答案:D解析:∵sin[2(α+γ)]=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=2tan(α+γ-β),故m==2,故选D.13.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于(　　)A.- B. C.- D.答案:D解析:∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α=,又α,β∈,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=.14.已知函数f(x)=2sincos-2cos2x++1,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 答案:π　(k∈Z)解析:f(x)=2sincos-2cos2+1=sin-cos==sinsin.∴f(x)的最小正周期T==π.因此f(x)=sin.当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).15.已知函数f(x)=2sincos ωx(0<ω<2),且f(x)的图象过点.(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期;(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,已知g,求cos的值.解:(1)函数f(x)=2sincosωx=+2cosωx·cosωx=sin.∵f(x)的图象过点,∴sin,∴2ω·=kπ,k∈Z,即ω=.再结合0<ω<2,可得ω=1,∴f(x)=sin,故它的最小正周期为=π.(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=sin的图象.∵gsin,∴sin,∴cos=1-2sin2.高考预测16.在锐角三角形ABC中,A,B,C为三个内角,且sin 2A=sin.(1)求角A的大小;(2)求sin B+sin C的取值范围.解:(1)因为sin2A=sin,所以2sinAcosA=cosA,即(2sinA-)cosA=0,又在锐角三角形ABC中,A∈,故cosA>0,所以sinA=,所以A=.(2)因为A+B+C=π,所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),所以sinB+sinC=sin+sinC=cosC+sinC=sin.因为在锐角三角形ABC中,A=,所以B+C=,B=-C,所以<C<,由正弦函数的单调性可知,sinB+sinC的取值范围为.