高考数学一轮复习考点规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析新人教A版文

考点规范练32　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

基础巩固

1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为(　　)

A.2 B.1 C.3 D.0

答案:B

解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,

即(b-2)<0,解得<b<2,

则b应取的整数值为1.

2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为(　　)

A.6 B.19 C.21 D.45

答案:C

解析:作出不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示.

由解得点A的坐标为(2,3).

由z=3x+5y,得y=-x+.

由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.

所以z的最大值zmax=3×2+5×3=21.

3.(2020浙江,3)若实数x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是(　　)

A.(-∞,4] B.[4,+∞)

C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)

答案:B

解析:首先作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分).

令z=0,画出初始目标函数表示的直线y=-x,由图象可知,不等式组表示的平面区域是两条直线相交形成的开放区域,当平移直线y=-x过点A时,z取得最小值,无最大值.

联立解得即A(2,1).

zmin=2+2×1=4.

所以z=2x+y的取值范围是[4,+∞).故选B.

4.如图,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.2　　　　　　　　　　 D.

答案:B

解析:直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.

∵kAC=-,∴-a=-,即a=.

5.已知实数x,y满足则z=ax+y(a>0)的最小值为(　　)

A.0 B.a C.2a+1 D.-1

答案:D

解析:由约束条件作出可行域(阴影部分),如图.

化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,

由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.

6.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A.-1 B.1 C. D.2

答案:B

解析:可行域如图阴影所示,由得交点A(1,2),当直线x=m经过点A(1,2)时,m取到最大值为1.

7.已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为　　　　　. 

答案:10

解析:画出x,y满足的可行域(阴影部分),如下图,

可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由解得x=2,y=4-c,

代入3x+y=5得6+4-c=5,

即c=5.

由得B(3,1).

当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.

8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是　　　　　万元. 

答案:27

解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.

由题意得此不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示.

由图可知当y=-x+经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=27(万元).

9.已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.

因此x2+y2的取值范围是.

能力提升

10.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)

A.或-1 B.2或

C.2或1 D.2或-1

答案:D

解析:(方法一)由题中条件画出可行域(阴影部分),如图所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),

则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,

要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.

(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.

11.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(　　)

A.-3 B.1 C. D.3

答案:B

解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为△ABC.

由解得则A(2,0).

由

解得

则B(1-m,1+m).

同理C,M(-2m,0).

S△ABC=S△ABM-S△ACM=·(2+2m)·=,

由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).

12.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的质量(单位:吨)如下表所示:

现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数量.

(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)如图1所示:

图1

图2

(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.

考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.

解方程组得点M的坐标为(20,24).

所以zmax=2×20+3×24=112.

答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.

高考预测

13.已知x,y满足约束条件z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=　　　　　. 

答案:1

解析:画出不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示,

结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,

所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k.

根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.