高考数学一轮复习考点规范练40直线平面垂直的判定与性质含解析新人教A版文

这是一份高考数学一轮复习考点规范练40直线平面垂直的判定与性质含解析新人教A版文，共17页。
考点规范练40　直线、平面垂直的判定与性质基础巩固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则(　　)A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直答案:D解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(　　)A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α答案:B解析:如图(1)β∥α,知A错;如图(2)知C错;如图(3),a∥a',a'⊂α,b⊥a',知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　　)A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案:C解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(　　)A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β答案:D解析:对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图(1),α,β不垂直;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图(2),α,β不垂直;图(1)图(2)对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.5.在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有(　　)A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC答案:C解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,则(　　)A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC答案:C解析:∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足　　　　　　　　　　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)解析:∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为　　　　　. 答案:解析:作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=,∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=.又PC=2,∴PO=.9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　　　　　.(用序号表示) 答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)解析:逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.10.(2020全国Ⅲ,文19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.答案:证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD,于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=DD1,AG=AA1,DD1?AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AE∥GD1.因为B1F=BB1,A1G=AA1,BB1?AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1∥FC1.于是AE∥FC1.所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是边AB,BC的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.答案:(1)解∵D,E分别是边AB,BC的中点,∴DEAC,DE⊥BC,DE=1.依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,∵DE⊂平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED,∵∠CEF=60°,∴FM=,梯形ACED的面积S=(AC+ED)×EC=(1+2)×2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=×3×.(2)证法一如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQAC,∴NQ?DE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ,∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,∴DN⊥平面ACF,又DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.证法二连接BF,∵EC=EF,∠CEF=60°,∴△CEF是边长为2的等边三角形.∵BE=EF,∴∠EBF=∠CEF=30°,∴∠BFC=90°,BF⊥FC.∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF.∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,又FC∩AC=C,∴BF⊥平面ACF,又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.答案:(1)证明在题图①中,因为AD∥BC,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,四边形BCDE为平行四边形.所以在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,BE∥CD,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.能力提升13.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误;②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确;③过直线m作平面γ交平面β于直线c,∵m,n是两条异面直线,∴设n∩c=O.∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c.∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α.∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α,∴α∥β.故③正确;④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确.故正确命题有3个,故选C.14.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案:A解析:由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　)A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC答案:D解析:由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD,且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC,故选D.16.如图,直线PA垂直于☉O所在的平面,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径,点M为线段PB的中点.下列结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(　　)A.①② B.①②③ C.① D.②③答案:B解析:对于①,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB为☉O的直径,所以BC⊥AC.所以BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC;对于②,因为点M为线段PB的中点,AB为☉O的直径,所以OM∥PA.因为PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,所以OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.故①②③都正确.17.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=2,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①图②(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.答案:(1)证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC,DE=BC.因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HF∥BC,HF=BC,所以HF∥DE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形,所以EF∥HD.因为EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,所以EF∥平面A1BD.(2)证明在△ABC中,因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BCED.因为CO⊂平面BCED,所以CO⊥A1O.在△OBC中,BC=4,易知OB=OC=2,所以CO⊥BO.因为A1O∩BO=O,所以CO⊥平面A1OB.因为CO⊂平面A1OC,所以平面A1OB⊥平面A1OC.(3)解在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,由F为A1C的中点,OC⊥GF,得G为OC的中点.在△EOC中,因为OC⊥GE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=矛盾.所以在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.高考预测18.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=DC=1,BP=BC=,PC=2,AB⊥平面PBC,F为PC的中点.(1)求证:BF∥平面PAD;(2)求证:平面ADP⊥平面PDC;(3)求四棱锥P-ABCD的体积.答案:(1)证明取PD的中点E,连接EF,AE.因为F为PC的中点,所以EF为△PDC的中位线,即EF∥DC且EF=DC.又AB∥CD,AB=CD,所以AB∥EF且AB=EF.所以四边形ABFE为平行四边形,所以BF∥AE.又AE⊂平面PAD,BF⊄平面PAD,所以BF∥平面PAD.(2)证明因为BP=BC,F为PC的中点,所以BF⊥PC.又AB⊥平面PBC,AB∥CD,所以CD⊥平面PBC.又BF⊂平面PBC,所以DC⊥BF.又DC∩PC=C,所以BF⊥平面PDC.由(1)知,AE∥BF,所以AE⊥平面PDC.又AE⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面PDC.(3)解因为AB⊥平面PBC,AB⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC.又BP=BC=,PC=2,所以PB⊥BC.所以PB⊥平面ABCD,即PB是四棱锥的高.所以VP-ABCD=SABCD·PB=×(1+2)×=1.