2022年浙江省台州市中考数学试卷解析版

2022年浙江省台州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）计算﹣2×（﹣3）的结果是（　　）

A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5

2．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．（4分）无理数的大小在（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

4．（4分）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）

A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°

5．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 

C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2

6．（4分）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　）

A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）

7．（4分）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

8．（4分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

9．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）

A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC 

B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC 

C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC 

D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC

10．（4分）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）

A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）分解因式：x2﹣1＝　   　．

12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为 　   　．

13．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　   　．

14．（5分）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 　   　cm2．

15．（5分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 　   　．

16．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　   　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　   　．

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）计算：+|﹣5|﹣22．

18．（8分）解方程组：．

19．（8分）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

20．（8分）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．

（1）求y关于x的函数解析式．

（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．

21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．

（1）求证：BD＝CD．

（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数．

（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）

22．（12分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．

学生目前每周劳动时间统计表

（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？

（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．

（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．

23．（12分）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．

（2）求的值．

（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．

24．（14分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．

（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

2022年浙江省台州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）计算﹣2×（﹣3）的结果是（　　）

A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5

【解答】解：﹣2×（﹣3）

＝+（2×3）

＝6．

故选：A．

2．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意知，几何体的主视图为：

故选：A．

3．（4分）无理数的大小在（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

【解答】解：∵4＜6＜9，

∴2＜＜3．

故选：B．

4．（4分）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）

A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°

【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；

B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；

C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，

∴∠1＝∠4，

∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；

D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；

故选：C．

5．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 

C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2

【解答】解：a2•a3＝a5，故A正确，符合题意；

（a2）3＝a6，故B错误，不符合题意；

（a2b）3＝a6b3，故C错误，不符合题意；

a6÷a3＝a3，故D错误，不符合题意；

故选：A．

6．（4分）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（　　）

A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）

【解答】解：∵飞机E（40，a）与飞机D关于y轴对称，

∴飞机D的坐标为（﹣40，a），

故选：B．

7．（4分）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【解答】解：由图可得，

＝≈5，

＝≈5，

故反映出这两组数据之间差异不能反映出这两组数据之间差异，故选项A不符合题意；

A和B的中位数和众数都相等，故不能反映出这两组数据之间差异，故选项B和C不符合题意；

由图象可得，A种数据波动小，比较稳定，B种数据波动大，不稳定，能反映出这两组数据之间差异，故选项D符合题意；

故选：D．

8．（4分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，

吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，

吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，

故选：C．

9．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）

A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC 

B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC 

C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC 

D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC

【解答】解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴BP＝PC，

∴故选项A是真命题，不符合题意；

AD⊥BC，即PD⊥BC，

又PB＝PC，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴AB＝AC，

∴故选项B是真命题，不符合题意；

若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴BP＝PC，

∴故选项C是真命题，不符合题意；

若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；

故选：D．

10．（4分）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（　　）

A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2

【解答】解：如图，

该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π

＝（840+9π）m2．

故选：B．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）分解因式：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．

【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）．

12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为 　　．

【解答】解：由题意可得，

掷一次有6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，

∴掷一次，朝上一面点数是1的概率为，

故答案为：．

13．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　10　．

【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF＝AB，

∴AB＝2EF＝20，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，

∴CD＝AB＝10，

故答案为：10．

14．（5分）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为 　8　cm2．

【解答】解：由平移可知，阴影部分的面积等于四边形BB'CC'的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），

故答案为：8．

15．（5分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 　5　．

【解答】解：+1

＝

＝，

当＝﹣1时，可得x＝5，

∴图中被污染的x的值是5，

故答案为：5．

16．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　3　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　6﹣3　．

【解答】解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，

∴△ADB，△BDC都是等边三角形，

当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×＝3．

如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．

∵AD∥CG，OK⊥AD，

∴OK⊥CG，

∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，

∴四边形AGTK是矩形，

∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，

∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，

∴△AOK≌△MOT（AAS），

∴OK＝OT＝，

∵OK⊥AD，

∴OR≥OK＝，

∵∠AOF＝90°，AR＝RF，

∴AF＝2OR≥3，

∴AF的最小值为3，

∴DF的最大值为6﹣3．

故答案为：3，6﹣3．

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）计算：+|﹣5|﹣22．

【解答】解：+|﹣5|﹣22

＝3+5﹣4

＝8﹣4

＝4．

18．（8分）解方程组：．

【解答】解：，

②﹣①得：y＝1，

把y＝1代入①得：x＝2，

∴原方程组的解为．

19．（8分）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，

sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，

解得BC≈2.9．

答：求梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．

20．（8分）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．

（1）求y关于x的函数解析式．

（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．

【解答】解：（1）由题意设：y＝，

把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，

∴y关于x的函数解析式为：y＝；

（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，

∴小孔到蜡烛的距离为4cm．

21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．

（1）求证：BD＝CD．

（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数．

（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD；

（2）解：∵⊙O与AC相切，AB为直径，

∴BA⊥AC，

∵AB＝AC，

∴△BAC是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°；

（3）解：如图，

作∠ABC的角平分线交于点E，则点E即是劣弧的中点．

22．（12分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．

学生目前每周劳动时间统计表

（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？

（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．

（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．

【解答】解：（1）×100%＝30%，

360°×30%＝108°；

（2）＝＝2.7（小时），

答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．

（3）（以下两种方案选一即可）

①从平均数看，标准可以定为3小时，

理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．

②从中位数的范围或频数看，标准可以定位2小时，

理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在1.5≤x＜2.5范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．

23．（12分）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．

（2）求的值．

（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，

∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，

∴AA1＝BB1＝AB，

在△A1AB1和△B1BC1中，

，

∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），

∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，

∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，

∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，

∴∠A1B1C1＝90°，

同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，

∴四边形A1B1C1D1是正方形．

（2）解：设AB＝a，

则AB1＝4a，AA1＝a，

由勾股定理得：A1B1＝a，

∴＝＝；

（3）相邻线段的比为或．

证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，

∴＝＝，

同理可得：＝，

∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．

24．（14分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．

（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．

（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．

【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，

设y＝a（x﹣2）2+2，

又∵抛物线过点（0，1.5），

∴1.5＝4a+2，

∴a＝﹣，

∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，

当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，

解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），

∴喷出水的最大射程OC为6cm；

②∵对称轴为直线x＝2，

∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），

∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，

∴点B的坐标为（2，0）；

③∵EF＝0.5，

∴点F的纵坐标为0.5，

∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，

解得x＝2±2，

∵x＞0，

∴x＝2+2，

当x＞2时，y随x的增大而减小，

∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，

则x≤2+2，

∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，

∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，

∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，

∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，

再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，

∴d的最小值为2，

综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；

（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，

故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），

则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，

解得m＝2.5，

∴点D的纵坐标为h﹣，

∴h﹣＝0，

∴h的最小值为．