高考数学一轮复习考点规范练43直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教版

考点规范练43　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、基础巩固

1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为(　　)

A B C.4 D.3

答案:A

解析:圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心(1,3)到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦长为2故选A.

2.(多选)(2021广东潮州二模)已知圆C:x2+y2-2ax+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是(　　)

A.-3 B.3 C.2 D.-2

答案:CD

解析:圆C的方程可化为(x-a)2+y2=1,则圆心C(a,0),半径r1=1.

由圆D的方程,可知圆心D(0,0),半径r2=2.

因为圆C与圆D有且仅有两条公切线,所以两圆相交,

所以2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.

故选CD.

3.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(　　)

A.y=- B.y=-

C.y=- D.y=-

答案:B

解析:圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-

4.(多选)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是(　　)

答案:AD

解析:圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=,令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,化简得a>0.

则当a>0时,直线与圆相交,故A正确,C不正确;

当a<0时,直线与圆相离,故D正确,B不正确.

5.已知直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若∠MON,则m的取值范围是 (　　)

A.[-2,2] B.[-4,4]

C.[-2,2] D.[0,2]

答案:C

解析:如图,过点O作OH⊥MN,垂足为H,由∠MON,得∠MOH,可得OH≤2.

所以点O到直线x-y+m=0的距离d=2,所以-2m≤2

所以m的取值范围是[-2,2].

故选C.

6.(2021青海西宁二模)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0),若圆C2平分圆C1的圆周,则m的值为(　　)

A.3 B.2 C.4 D.1

答案:A

解析:由题意,可知点C1(1,-2),圆C1与圆C2相交,则相交弦所在直线方程为3x-5y-m2-4=0.

因为圆C2平分圆C1的圆周,所以点C1在相交弦所在直线上,所以3+10-m2-4=0,即m2=9.

又m>0,所以m=3.

7.(多选)(2021山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则(　　)

A.圆O1和圆O2有两条公切线

B.直线AB的方程为x-y+1=0

C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|

D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+

答案:ABD

解析:对于A,因为两圆相交,所以有两条公切线,故A正确.

对于B,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为-2x+2y-2=0,即x-y+1=0,故B正确.

对于C,因为直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误.

对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,故D正确.

故选ABD.

8.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=　　　　　. 

答案:

解析:由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,∵P(1,),

∴PB⊥x轴,|PA|=|PB|=

又△POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=,

∴∠OPA=30°,

∴∠APB=60°.

=||||·cos∠APB=cos60°=

9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.

由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,即2,整理得3k2-4k≤0,解得0≤k

故k的最大值是

10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.

(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;

(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.

解:圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,

则圆心为C(-1,2),半径r=2.

(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则=2,解得k=-,

故l的方程为y-3=-(x-1),

即3x+4y-15=0.

综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.

(2)设点P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,

因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,

所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.

二、综合应用

11.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

答案:D

解析:由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.

因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,

所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.

又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.

12.(2021辽宁朝阳一模)设P为直线x-y=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC的面积的最小值为(　　)

A B 

C.2 D.1

答案:D

解析:如图,由已知得圆C的圆心C的坐标为(2,0),半径为1,S四边形APBC=2S△PAC=2|AC|·|PA|=

要使四边形APBC的面积最小,只需|PC|最小.

当PC垂直于直线x-y=0时,|PC|取得最小值,为所以四边形APBC的面积的最小值为=1.

13.(多选)已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0,下列说法正确的是(　　)

A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点

B.存在实数k与θ,直线l和圆M相离

C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切

D.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切

答案:AC

解析:对于A,根据题意知圆M的圆心坐标为(1+cosθ,2+sinθ),半径为1.无论θ取何值,都有(1-1-cosθ)2+(2-2-sinθ)2=1,从而圆M过定点(1,2).又因为kx-y-k+2=0可化为k(x-1)-y+2=0,所以直线l过定点(1,2),从而直线l和圆M有公共点.

对于B,圆心到直线l的距离

d===|sin(β-θ)|≤1=r

(其中sinβ=,cosβ=),

从而不存在实数k与θ,使直线与圆M相离,所以不正确.

对于C,因为对任意实数k,tanβ=k,所以必存在实数θ,使d=|sin(β-θ)|=sin+k0π=1=r,k0∈Z,即直线l与圆M相切,所以正确.

对于D,对任意实数θ,不一定存在实数k,使得直线l与圆M相切,如θ=0时,k不存在,所以不正确.

14.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是　　　　　. 

答案:4

解析:如图,由题意可知O1A⊥OA,AB⊥OO1,|AB|=2|AC|.

∵|OA|=,|O1A|=2,

∴|OO1|=5.

在Rt△OO1A中,|AC|==2,

∴|AB|=2|AC|=2×2=4.

15.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为　　　　　;若过l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=|PQ|,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:　[]

解析:当a=1时,圆心C(1,0),r=1,

则圆心C到直线l的距离d=,

所以弦长=2=2

设P(m,-m+2),如图,过点P作PB⊥x轴,则有|PA|=|PB|,又因为|PA|=|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,由题意可知关于m的该方程有解,则Δ=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-12≥0,解得a

16.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得,求实数t的取值范围.

解:(1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.

由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且=b+5.

解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为kOA=2,

所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.

又|BC|=|OA|==2,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d==2,

所以=2,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.

(3)由,可知,

因为P,Q为圆M上的两点,

所以|PQ|≤2r=10.

所以|TA|=|PQ|≤10,即10,解得2-2t≤2+2

故实数t的取值范围为[2-2,2+2].

17.如图,台风中心从A地以20千米/时的速度向北偏东45°方向移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问题:

 (1)求台风中心移动路径所在的直线方程;

(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时?

解:(1)如图,以B为原点,建立平面直角坐标系,由题意可知台风中心移动路径所在的直线的斜率为1,点A(-400,0),故台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400.

(2)以B为圆心,300为半径作圆,和直线y=x+400相交于A1,A2两点.

可以认为,当台风中心移到A1时,城市B开始处于危险区域,直到台风中心移到A2时解除影响.

因为点B到直线y=x+400的距离d=200,所以|A1A2|=2=200,而=10(小时),所以城市B处于危险区域的时间是10小时.

三、探究创新

18.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点(　　)

A B 

C.(1,2) D.(9,0)

答案:C

解析:因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2m,m).因为PA,PB为圆O:x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,所以AB是圆O和圆C的公共弦.易知圆C的方程为,

两圆的方程相减,得(2m-9)x-my+9=0,即公共弦AB所在直线的方程为(2m-9)x-my+9=0,可化为m(2x-y)+(-9x+9)=0,由

所以直线AB恒过定点(1,2).故选C.

19.(多选)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列说法正确的是(　　)

A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2

B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3

C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值为3-2

D.若圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围为[1-2,1+2]

答案:ACD

解析:因为|AB|=|AC|,所以△ABC的“欧拉线”为线段BC的垂直平分线,由点B(-1,3),C(4,-2)可得线段BC的中点为(),且kBC==-1,所以线段BC的垂直平分线的方程为y-=x-,即x-y-1=0.

因为△ABC的“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,所以圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离d=r=,所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2,圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离为=3

A中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3=2,所以A正确.

B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为3=4,所以B不正确.

C中,令t=x+y,即y=,代入圆M的方程(x-3)2+y2=2,可得(x-3)2+=2,整理可得4x2-(18+2t)x+t2+21=0,因为点(x,y)在圆M上,所以4x2-(18+2t)x+t2+21=0有根,所以Δ=(18+2t)2-4×4×(t2+21)≥0,整理可得t2-6t+1≤0,解得3-2t≤3+2,所以t的最小值为3-2,即x+y的最小值为3-2,所以C正确.

D中,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心坐标为(a+1,a),半径为2,

圆M的圆心坐标为(3,0),半径为,要使圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则圆心距d∈[2,2],即圆心距d∈[,3],所以3,解得1-2a≤1+2,所以D正确.