高考数学一轮复习高考大题专项练三高考中的数列含解析新人教A版理

高考大题专项练三　高考中的数列

一、非选择题

1.(2020全国Ⅰ,理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.

解:(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.

所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.

(2)记Sn为{nan}的前n项和.

由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.

所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,

-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.

可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.

所以Sn=.

2.已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;

(2)求{an}和{bn}的通项公式.

答案:(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).

又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.

由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.

又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.

所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,

bn=[(an+bn)-(an-bn)]

=-n+.

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

解:(1)依题意得,

解得

故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,

即an=2n+1.

(2)由题意可知,=3n-1,

则bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1.

故Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②

①-②得

-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n

=3+2·-(2n+1)3n

=-2n·3n,

因此,Tn=n·3n.

4.设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.

(1)求Sn和Tn;

(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.

解:(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,

故bn=2n-1.

所以,Tn==2n-1.

设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n.

所以,Sn=.

(2)由(1),有

T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.

由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得,+2n+1-n-2=n+2n+1,

整理得n2-3n-4=0,

解得n=-1(舍)或n=4.

所以,n的值为4.

5.已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(1)求q的值;

(2)求数列{bn}的通项公式.

解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,

所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.

由a3+a5=20,得8=20,

解得q=2或q=,

因为q>1,所以q=2.

(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,由cn=解得cn=4n-1.

由(1)可知an=2n-1,

所以bn+1-bn=(4n-1)·.

故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2,

bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)

=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.

设Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,

Tn=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,

所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,

因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2,又b1=1,

所以bn=15-(4n+3)·.

6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.

(1)求an;

(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn>(n∈N*).

答案:(1)解设等差数列{an}的公差为d,

由题意,得

解得

故an=a1+(n-1)d=2n+1.

(2)证明∵a1=3,d=2,

∴Sn=na1+d=n(n+2).

∴bn=.

∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn

=+…+=

>

=,

故Tn>.

7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2).

(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)因为an=,

所以Sn-Sn-1=,

即=1,

所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,

所以an==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.

(2)因为,

所以Tn=+…+.

所以Tn<.要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).

8.已知数列{an}是公比为的等比数列,其前n项和为Sn,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,数列{bn}是等差数列,其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.

(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;

(2)比较+…+Sn的大小.

解:(1)由题意,得(1-a2)2=a1(a3+1),

即=a1,解得a1=.

故an=.

设等差数列{bn}的公差为d,

又

解得(舍去),故λ=.

(2)由(1)知Sn=1-,

则Sn=.①

由(1)知Tn=nbn+1,

当n=1时,T1=b1=b2,

即b2=2b1=16,

故公差d=b2-b1=8,

则bn=8n,又Tn=nλ·bn+1,

故Tn=4n2+4n,

即.

因此,+…+

=

=.②

由①②可知+…+Sn.