2021-2022学年广州市番禺区重点名校中考数学对点突破模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线（）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：

①；

②当0＜x＜3时，；

③如图，当x=3时，EF=；

④当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．

其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（   ）

A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6

3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10

4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．其中假命题的个数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5．计算（﹣）﹣1的结果是（　　）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

6．一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150，176，168，183，172，164，168，185，则这组数据的中位数为（　　）

A．172 B．171 C．170 D．168

7．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）

A．赚了10元 B．赔了10元 C．赚了50元 D．不赔不赚

8．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是(　　)

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟 B．公园离小丽家的距离为2000米

C．小丽在便利店时间为15分钟 D．便利店离小丽家的距离为1000米

9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，，，于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为　　

A． B． C． D．

10．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（　　）

A． B． C． D．

11．计算的正确结果是（　　）

A． B．- C．1 D．﹣1

12．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（　　）

A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．已知是方程组的解，则3a﹣b的算术平方根是_____．

14．方程=的解是____．

15．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．

16．将点P（﹣1，3）绕原点顺时针旋转180°后坐标变为_____．

17．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于_________．

18．计算：____.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

20．（6分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．

21．（6分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）

22．（8分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）

（1）求楼房的高度约为多少米？

（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．

23．（8分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示．

（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．

（2）求乙组加工零件总量a的值．

24．（10分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？

25．（10分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于_____；

（Ⅱ）若四边形DEFG是正方形，且点D，E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点E，点G，并简要说明点E，点G的位置是如何找到的（不要求证明）_____．

26．（12分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

27．（12分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是     事件；（可能，必然，不可能）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】

试题分析：对于直线，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA和△CDA中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC，OA=AD，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴（同底等高三角形面积相等），选项①正确；

∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即，由函数图象得：当0＜x＜2时，，选项②错误；

当x=3时，，，即EF==，选项③正确；

当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，选项④正确，故选C．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

2、D

【解析】
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．

【详解】

解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．

故选D．

3、C

【解析】
由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．

【详解】

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，

∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，

∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，

即△PCD的周长为12，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．

4、D

【解析】
根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断．

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540°，则其内角为108°，而360°并不是108°的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题．

故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与证明．对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念．关键是熟悉这些概念，正确判断．

5、D

【解析】
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

【详解】

解： ，
故选D．

【点睛】

本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．

6、C

【解析】
先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【详解】

从小到大排列：

150，164,168，168，，172，176，183，185，

∴中位数为：（168+172）÷2=170.

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

7、A

【解析】

试题分析：第一个的进价为：80÷(1+60%)=50元，第二个的进价为：80÷(1－20%)=100元，则80×2－(50+100)=10元，即盈利10元.

考点：一元一次方程的应用

8、C

【解析】

解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；

B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；

C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；

D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．

故选C．

9、B

【解析】

试题解析：在菱形中，，，所以，，在中，，

因为，所以，则，在中，由勾股定理得，，由可得，，即，所以．故选B.

10、C

【解析】

试题分析：由中心对称图形的概念可知，这四个图形中只有第三个是中心对称图形，故答案选C．

考点：中心对称图形的概念．

11、D

【解析】
根据有理数加法的运算方法，求出算式的正确结果是多少即可．

【详解】

原式

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加

数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．③一个数同

1相加，仍得这个数．

12、B

【解析】

分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．

详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；

∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，

∴AD⊥BC

∵AB=BC=2

∴AD=AB•sin∠B=，

∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，

∴OE=OE′=2

∵点A的坐标为（0，6）

∴OA=6

∴DE′=OA-AD-OE′=4-

故选B．

点睛：本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、2．

【解析】
灵活运用方程的性质求解即可。

【详解】

解：由是方程组的解，可得满足方程组，

由①+②的，3x-y=8,即可3a-b=8，

故3a﹣b的算术平方根是，

故答案：

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的性质及其解法。

14、x=1

【解析】
观察可得方程最简公分母为x（x−1），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．

【详解】

方程两边同乘x（x−1）得：

3x＝1（x−1），

整理、解得x＝1．

检验：把x＝1代入x（x−1）≠2．

∴x＝1是原方程的解，

故答案为x＝1．

【点睛】

解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后整式的根，不是原方程的根，因此要注意检验．

15、1．

【解析】
试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10.

∴斜边上的中线长=×10=1．

考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．

16、（1，﹣3）

【解析】
画出平面直角坐标系，然后作出点P绕原点O顺时针旋转180°的点P′的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．

【详解】

如图所示：

点P（-1，3）绕原点O顺时针旋转180°后的对应点P′的坐标为（1，-3）．
故答案是：（1，-3）．

【点睛】

考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．

17、2

【解析】
凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是110°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．

【详解】

解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．

∵六边形ABCDEF的六个角都是110°，

∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．

∴GC=BC=3，DP=DE=1．

∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+1=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-1=1．

∴六边形的周长为1+3+3+1+4+1=2．

故答案为2．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．

18、5.

【解析】

试题分析：根据绝对值意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0，所以-5的绝对值是5.故答案为5.

考点：绝对值计算.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）y=2x，OA=，

（2）是一个定值，，

（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解析】（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①

如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴点F（，0），

设点B（x，），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴点B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5       

（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

设OE=x，则AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴顶点为（，）

如答图3，

当时，OE=x=，此时E点有1个；

当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个

当时，E点有2个

20、（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.

试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：

(2)、画树状图得：

结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）

∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，

∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=.

考点：概率的计算.

21、凉亭P到公路l的距离为273.2m．

【解析】
分析：作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．

【详解】

详解：作PD⊥AB于D．

设BD=x，则AD=x+1．

∵∠EAP=60°，

∴∠PAB=90°﹣60°=30°．

在Rt△BPD中，

∵∠FBP=45°，

∴∠PBD=∠BPD=45°，

∴PD=DB=x．

在Rt△APD中，

∵∠PAB=30°，

∴PD=tan30°•AD，

即DB=PD=tan30°•AD=x=（1+x），

解得：x≈273.2，

∴PD=273.2．

答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．

【点睛】

此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．

22、（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABE中，根据的正切值即可求得楼高；（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.即小猫仍可晒到太阳.

试题解析：解：（1）当当时，在Rt△ABE中，

∵,

∴BA=10tan60°=米.

即楼房的高度约为17.3米.

当时，小猫仍可晒到太阳.理由如下：

假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.

∵∠BFA=45°，

∴,此时的影长AF=BA=17.3米，

所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1.

∴CH=CF=0.1米，

∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.

∴小猫仍可晒到太阳.

考点：解直角三角形.

23、（1）y=60x；（2）300

【解析】
（1）由题图可知，甲组的y是x的正比例函数.

设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=kx.

根据题意，得6k=360，

解得k=60.

所以，甲组加工的零件数量y与时间x之间的关系式为y=60x.

（2）当x=2时，y=100.因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍.

所以，解得a=300.

24、12

【解析】
设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【详解】

解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，

依题意得：x（60﹣x）＝864，

整理得：x2﹣60x+864＝0，

解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），

∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），

∴36﹣24＝12（步），

则该矩形的长比宽多12步．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

25、6    作出∠ACB的角平分线交AB于F，再过F点作FE⊥AC于E，作FG⊥BC于G   

【解析】
（1）根据三角形面积公式即可求解,（2）作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G,过G点作GD⊥AC于D,四边形DEFG即为所求正方形．

【详解】

解：（1）4×3÷2=6,故△ABC的面积等于6.

（2）如图所示,作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G,四边形DEFG即为所求正方形．

故答案为:6,作出∠ACB的角平分线交AB于F,再过F点作FE⊥AC于E,作FG⊥BC于G．

【点睛】

本题主要考查了作图-应用与设计作图、三角形的面积以及正方形的性质、角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质及正方形的性质作出正确的图形是解本题的关键．

26、 (1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．

考点：一元二次方程的应用．

27、（1）不可能事件；（2）.

【解析】
试题分析：（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可．

试题解析：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；

（2）树状图法

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为．

考点：列表法与树状图法．