2022年江苏省苏州市中考数学调研试卷（含解析）

2022年江苏省苏州市中考数学调研试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的整数部分是

A.  B.  C.  D.

2. 截止年月日：，美国新冠疫情累计确诊人数为，精确到万位，用科学记数法表示为

A.  B.
C.  D.

3. 一组数据：，，，，，这组数据的中位数为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，直线与，分别交于点，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，切于点，交于点，，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

6. 小明如果以的速度从家去学校，则迟到分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 若二次函数的图象经过点，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D. 或

8. 如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图，在四边形中，，，，点、分别是，边上的中点，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心、为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 若分式有意义，则实数的取值范围是______．
13. 若，，则______．
14. 关于的方程的解是负数，则的取值范围为______．
15. 把两个同样大小含的直角三角板如图放置，已知，连接，则长为______．

16. 现有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，则点在第二象限的概率为______．
17. 如图，中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为______．
18. 如图，半径为的圆形扫地机器人在无障碍的房间中自由移动打扫卫生，已知，，，则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为______结果保留

三．解答题（本题共10小题，共76分）

19. 计算：．
20. 解分式方程：．
21. 先化简，再求值：，其中，且为整数，请你选一个合适的值代入求值．
22. 如图在临街高的居民楼的点处俯视两垂直于地面的围墙，从看俯角为，从看俯角为，围墙，高，围墙之间是马路．
    求马路的宽度；
    小丽高，离围墙距离，问：小明从处能否看到小丽？试说明理由．，结果精确到百分位

23. 请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有名患者，图是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
    轻症患者的人数是多少？
    该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
    所有患者的平均治疗费用是多少万元？

24. 如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
    求证：≌；
    若，，连接，，求四边形的周长．
25. 某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房．
    求该店有客房多少间？房客多少人？
    假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上含间，房费按折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
26. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
    求证：是的切线；
    若的直径为，，求的长．

27. 【背景】如图，在中，，过点的直线，点是直线上的一动点，将射线绕着点逆时针旋转，交线段于点，使，试说明：．
    小丽提出了自己的想法：如图，在线段上取一点，使，通过证明≌可以解决问题．
    【尝试】请你帮助小丽完成说理过程．
    若，，，求的长．
    【拓展】如图，过点的直线，，，点是直线上一点，点是线段上的一点，连接，使得，求的值．

28. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，顶点为，点、的坐标分别为、．
    求点的坐标；
    如图，将函数图象在轴左侧部分沿轴翻折，图象其余部分保持不变，得到的新图象记为．
    过点作轴的垂线，当______时，直线与图象有且只有两个交点．
    请求出翻折后图象的函数关系式．
    如图，点是第二象限内图象上的动点，当，，且时，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
的整数部分是，
故选：．
根据平方运算估算出的值，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：精确到万位，科学记数法表示为；
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、，
这组数据的中位数是，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】

【解析】解：因为，
所以，
所以，
故选：．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：连接，如图：

为的切线，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，，得出，进而得出答案．
此题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设小明家到学校距离为，
根据题意得，
故选：．
设小明家到学校距离为，根据“以的速度从家去学校，则迟到分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前分钟”即可列出方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据时间找出等量关系是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：将代入得，
抛物线，
将代入得，
解得，，
抛物线开口向下，
时，
故选：．
由抛物线经过可得抛物线解析式，将代入抛物线解析式可得抛物线与轴交点横坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

8.【答案】

【解析】解：由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
，
故B选项正确，
故选：．
由翻折可得，由平行线的性质可得，则，即．
本题考查翻折变换折叠问题、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，

，点、分别是，边上的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
≌，
，，
设，则，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，连接，交于点，过点作于点，先证明是等边三角形，得，再证明≌，得，，设，则，，分别计算和的长，并根据三角函数定义可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等知识；有一定难度，正确作辅助线是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，

，，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，由，，得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，由等积法，进而求出，，得出，即可求出．
本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理，两点间的距离公式，等积法，切线的性质等知识是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

13.【答案】

【解析】解：，，




．
故答案为：．
根据，求出的值即可．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确完全平方公式的应用．
 

14.【答案】

【解析】解：方程移项得：，
解得：，
方程的解是负数，
，
解得：．
故答案为：．
表示出方程的解，根据解为负数确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，

在和中，
，
≌，
，，
由勾股定理得：，
．
故答案为：．
证明≌，可得，，利用勾股定理可得的长，可得的长．
本题考查等腰直角三角形，三角形全等的性质和判定，勾股定理，解答本题的关键是证明≌．
 

16.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为，
所以点在第二象限的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．
 

17.【答案】

【解析】解：，，，
又为的中点，
，
，
，
，
，
扇形的面积，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算．
本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由题意作出示意图如下：

则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为，
由题知∽，
，，机器人半径为，
设，则，，
，，
，
解得，
即，，，
又，
圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为，
故答案为：．
根据题意得出圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积的示意图，根据图形求出面积即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，扇形的面积，矩形的性质等知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：去分母得，
解得：，
经检验是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式．

【解析】先把括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由于不能取，，所以把可把代入计算．
本题考查了分式的化简求值，特别要注意的值必须使所求的代数式有意义．
 

22.【答案】解：连接并延长交于点，

由题意得：
，米，，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
马路宽约为；
小明从处不能看到小丽，
理由：延长交于点，在上取一点，使米，过点作，垂足为，交于点，

由题意得：米，，
，
在中，米，
米，
米，
在中，米，
小丽身高 米 米，
小丽位于小明视线的盲区，所以小明从处不能看到小丽．

【解析】连接并延长交于点，根据题意可得，米，，从而求出的长，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答；
延长交于点，在上取一点，使米，过点作，垂足为，交于点，根据题意得：米，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：人，
答：轻症患者的人数是人；
人，
万元，
答：该市为治疗危重症患者共花费万元；
轻症患者的人数是人，
万元，
答：所有患者的平均治疗费用是万元．

【解析】由总人数乘以轻症患者所占的百分比即可；
首先求出危重症患者的人数，再根据每人的平均花费可得答案；
先求出重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
解：由可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
根据，，设，可得，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形的周长．

【解析】本题主要考查了矩形的性质的应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
根据矩形的性质可得，，，即可证得两个三角形全等；
设，根据已知条件可得，由可得，可证得四边形是菱形，根据勾股定理可得的长，即可求得周长；
 

25.【答案】解：设客房有间，则根据题意可得：
，
解得；
即客人有人；
答：客人有人．

如果每人一个房间，需要，需要间客房，总费用为钱，
如果定间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用钱钱，
所以他们再次入住定间房时更合算．
答：他们再次入住定间房时更合算．

【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；
根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．
 

26.【答案】证明：连接，如图，

，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，，

是的直径，
，，
即，，
由知：，
为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，
．

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
连接和，求出，，解直角三角形求出和，再求出答案即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

27.【答案】【背景】证明：如图中，在线段上取一点，使，设交于．

，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
．

【尝试】证明见上面．
解：如图中，过点作于，过点作于，过点作于．

，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
．

【拓展】解：如图中，在上取一点，使得，设交于点．

，
，
，
．
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
．

【解析】【背景】如图中，在线段上取一点，使，设交于证明≌，可得结论．
【尝试】见上面分析．
如图中，过点作于，过点作于，过点作于求出，可得结论．
【拓展】如图中，在上取一点，使得，设交于点利用相似三角形的性质证明即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

28.【答案】或

【解析】解：，
当时，，
．

或时，直线与图象有且只有两个交点，
，
抛物线 ，
沿轴翻折后 ，
如图，当时，

过画轴交轴于点，轴，过作轴，轴，轴，
，，
，，
由∽知：，
与相似，且时，
当时，
，
，，
∽，
，，
，
在抛物线上，
，
，
解得，舍，
，
当时，
同上可得：，，
，
，
方程无解，
当时，结果同上，
综上所述：．
由顶点坐标公式直接求解；
由图象知或，根据沿轴翻折，开口方向相反，顶点变成即可得出关系式；
若，由，坐标，构造出型相似可知：，由与相似，且时，分两类或，分别表示出的坐标代入函数解析式即可．若，算法完全一样．
本题是二次函数综合题，主要考查顶点坐标公式，图象的翻折特征，以及三角形相似的判定与性质，构造型相似是解决本题的关键．