2021-2022学年广东省中山市市级名校初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升了高度h,则小明的这块矿石体积是(       )

A． B． C． D．

2．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（　　）

A．64×105 B．6.4×105 C．6.4×106 D．6.4×107

4．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：

每天加工零件数的中位数和众数为(   )

A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6

5．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是 ( )

A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤

6．若a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则求代数式a3﹣2a+1的值时需用到的数学方法是（　　）

A．待定系数法    B．配方    C．降次    D．消元

7．已知函数y=的图象如图，当x≥﹣1时，y的取值范围是（　　）

A．y＜﹣1 B．y≤﹣1 C．y≤﹣1或y＞0 D．y＜﹣1或y≥0

8．如图，两张完全相同的正六边形纸片边长为重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是　　

A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1

9．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　）

A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2

10．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．

12．小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________．

13．分解因式：8x²-8xy+2y²= _________________________ .

14．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．

15．如图，已知AB∥CD，=____________

16．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，点P是⊙O外一点，请你用尺规画出一条直线PA，使得其与⊙O相切于点A，（不写作法，保留作图痕迹）

18．（8分）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：

注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？

19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线（m≠0）向右平移个单位长度后得到抛物线G2，点A是抛物线G2的顶点．

（1）直接写出点A的坐标；

（2）过点（0，）且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B，C两点．

①当∠BAC＝90°时．求抛物线G2的表达式；

②若60°＜∠BAC＜120°，直接写出m的取值范围．

20．（8分）（1）计算：2﹣2﹣+（1﹣）0+2sin60°．

（2）先化简，再求值：（）÷，其中x=﹣1．

21．（8分）如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

22．（10分）如图，已知是的直径，点、在上，且，过点作，垂足为．

求的长；

若的延长线交于点，求弦、和弧围成的图形（阴影部分）的面积．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．

24．求不等式组 的整数解.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

圆柱体的底面积为：π×()2，

∴矿石的体积为：π×()2h= .

故答案为.

2、D

【解析】

由抛物线的开口向下知a<0，

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0，

对称轴为x= <1，∵a<0，∴2a+b<0，

而抛物线与x轴有两个交点,∴ −4ac>0，

当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2.

∵ >2，∴4ac−<8a，∴+8a>4ac，

∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0.

由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，

上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；b的符号由对称轴位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.

3、C

【解析】
由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：6400000=6.4×106，

故选C．

点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4、A

【解析】
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．

【详解】

由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；

因为共有20个数据，

所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为=6，

故选A．

【点睛】

本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5、D

【解析】
根据实数的运算法则即可一一判断求解.

【详解】

①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= ，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．

故选D.

6、C

【解析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．

【详解】

由题意可知：a2-a-1=0，
∴a2-a=1，
或a2-1=a
∴a3-2a+1
=a3-a-a+1
=a（a2-1）-（a-1）
=a2-a+1
=1+1
=2
故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义．

7、C

【解析】

试题分析：根据反比例函数的性质，再结合函数的图象即可解答本题．解：根据反比例函数的性质和图象显示可知：此函数为减函数，x≥-1时，在第三象限内y的取值范围是y≤-1；在第一象限内y的取值范围是y＞1．故选C．

考点：本题考查了反比例函数的性质

点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析反比例函数的基本性质和知识，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞1时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜1时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大

8、C

【解析】
求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；

【详解】

解：正六边形的面积，
阴影部分的面积，
空白部分与阴影部分面积之比是：：1，
故选C．

【点睛】

本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

9、C

【解析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【详解】

方程变形得：x（x﹣1）＝0，

可得x＝0或x﹣1＝0，

解得：x1＝0，x1＝1．

故选C．

【点睛】

考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10、B

【解析】

分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．

详解：乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，

所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等；

故选B．

点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值.

【详解】

把（1,4）代入得：a+b=4

又因为，，且，

所以当a=1是b=3

所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：

故答案为

【点睛】

此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答.

12、

【解析】

试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停留在黑色区域的概率为：.

13、1

【解析】
提取公因式1，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b）1．

【详解】

8x1-8xy+1y²=1（4x1-4xy+y²）=1（1x-y）1．

故答案为：1（1x-y）1

【点睛】

此题考查的是提取公因式法和公式法分解因式，本题关键在于提取公因式可以利用完全平方公式进行二次因式分解．

14、

【解析】

mn(n-m)-n(m-n)= mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，

故答案为n(n-m)(m+1).

15、85°．

【解析】

如图,过F作EF∥AB，

而AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABF+∠BFE=180°，∠EFC=∠C，

∴∠α=180°−∠ABF+∠C=180°−120°+25°=85°

故答案为85°.

16、5或1

【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．

【详解】

由被开方数是非负数，得

，

解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，

当a＝1时，a+b＝1+4＝5，

当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝1，

故答案为5或1．

【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

三、解答题（共8题，共72分）

17、答案见解析

【解析】
连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，直线PA，PA′即为所求．

【详解】

解：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K，以点K为圆心OK为半径作⊙K交⊙O于点A，A′，作直线PA，PA′，

直线PA，PA′即为所求．

【点睛】

本题考查作图−复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

18、 (1) 21≤x≤62且x为整数；(2)共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．

【解析】
（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式，再根据A

B两种车至少要能坐1441人即可得取x的取值范围；

（2）由总费用不超过21940元可得关于x的不等式，解不等式后再利用函数的性质即可解决问题.

【详解】

(1)由题意得y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，

∵30x＋20(62－x)≥1441，

∴x≥20.1，∴21≤x≤62且x为整数；

(2)由题意得100x＋17360≤21940，

解得x≤45.8，∴21≤x≤45且x为整数，

∴共有25种租车方案，

∵k＝100>0，∴y随x的增大而增大，

当x＝21时，y有最小值， y最小＝100×21＋17360＝19460，

故共有25种租车方案，当租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时，租金最少，为19460元．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用等，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，会利用函数的性质解决最值问题．

19、（1）（，2）；（2）①y＝（x－）2＋2；②

【解析】
(1)先求出平移后是抛物线G2的函数解析式，即可求得点A的坐标；

(2)①由(1)可知G2的表达式，首先求出AD的值，利用等腰直角的性质得出BD=AD=，从而求出点B的坐标，代入即可得解；

②分别求出当∠BAC=60°时，当∠BAC=120°时m的值，即可得出m的取值范围．

【详解】

（1）∵将抛物线G1：y＝mx2＋2（m≠0）向右平移个单位长度后得到抛物线G2，

∴抛物线G2：y＝m（x－）2＋2，

∵点A是抛物线G2的顶点.

∴点A的坐标为（，2）．

（2）①设抛物线对称轴与直线l交于点D，如图1所示．

∵点A是抛物线顶点，

∴AB＝AC．

∵∠BAC＝90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴CD＝AD＝，

∴点C的坐标为（2，）．

∵点C在抛物线G2上，

∴＝m（2－）2＋2，

解得：．

②依照题意画出图形，如图2所示．

同理：当∠BAC＝60°时，点C的坐标为（＋1，）；

当∠BAC＝120°时，点C的坐标为（＋3，）．

∵60°＜∠BAC＜120°，

∴点（＋1，）在抛物线G2下方，点（＋3，）在抛物线G2上方，

∴，

解得：．

【点睛】

此题考查平移中的坐标变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握坐标系中交点坐标的计算方法是解本题的关键，利用参数顶点坐标和交点坐标是解本题的难点.

20、（1） （2）

【解析】
（1）根据负整数指数幂、二次根式、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解：（1）原式=﹣+1+2=﹣+1+=﹣;

（2）原式=

=

=

=，

当x=﹣1时，原式==．

【点睛】

本题考查分式的化简求值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

21、（1）抛物线l2的函数表达式；y=x2﹣4x﹣1；（2）P点坐标为（1，1）；（3）在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.1．

【解析】
（1）由抛物线l1的对称轴求出b的值，即可得出抛物线l1的解析式，从而得出点A、点B的坐标，由点B、点E、点D的坐标求出抛物线l2的解析式即可；（2）作CH⊥PG交直线PG于点H，设点P的坐标为（1，y），求出点C的坐标，进而得出CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，由PA=PC可得PA2=PC2，由勾股定理分别将PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；（3）设出点M的坐标，求出两个抛物线交点的横坐标分别为﹣1，4，①当﹣1＜x≤4时，点M位于点N的下方，表示出MN的长度为关于x的二次函数，在x的范围内求二次函数的最值；②当4＜x≤1时，点M位于点N的上方，同理求出此时MN的最大值，取二者较大值，即可得出MN的最大值.

【详解】

（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3对称轴为x=1，

∴x=﹣=1，b=2，

∴抛物线l1的函数表达式为：y=﹣x2+2x+3，

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

设抛物线l2的函数表达式；y=a（x﹣1）（x+1），

把D（0，﹣1）代入得：﹣1a=﹣1，a=1，

∴抛物线l2的函数表达式；y=x2﹣4x﹣1；

（2）作CH⊥PG交直线PG于点H，

设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，

∴PC2=12+（3﹣y）2=y2﹣6y+10，PA2= =y2+4，

∵PC=PA，

∴PA2=PC2，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P点坐标为（1，1）；

（3）由题意可设M（x，x2﹣4x﹣1），

∵MN∥y轴，

∴N（x，﹣x2+2x+3），

令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣1，可解得x=﹣1或x=4，

①当﹣1＜x≤4时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣2x2+6x+8=﹣2（x﹣）2+，

显然﹣1＜≤4，

∴当x=时，MN有最大值12.1；

②当4＜x≤1时，MN=（x2﹣4x﹣1）﹣（﹣x2+2x+3）=2x2﹣6x﹣8=2（x﹣）2﹣，

显然当x＞时，MN随x的增大而增大，

∴当x=1时，MN有最大值，MN=2（1﹣）2﹣=12.

综上可知：在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.1．

【点睛】

本题是二次函数与几何综合题， 主要考查二次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及动点求线段最值问题.

22、（1）OE＝；（2）阴影部分的面积为

【解析】
（1）由题意不难证明OE为△ABC的中位线，要求OE的长度即要求BC的长度，根据特殊角的三角函数即可求得；（2）由题意不难证明△COE≌△AFE，进而将要求的阴影部分面积转化为扇形FOC的面积，利用扇形面积公式求解即可.

【详解】

解：(1) ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OE⊥AC，

∴OE // BC，

又∵点O是AB中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∵∠D=60°，

∴∠B=60°，

又∵AB=6，

∴BC=AB·cos60°=3，

∴OE= BC=；

(2)连接OC，

∵∠D=60°，

∴∠AOC=120°，

∵OF⊥AC，

∴AE=CE，=，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF为等边三角形，

∴AF=AO=CO，

∵在Rt△COE与Rt△AFE中，

，

∴△COE≌△AFE，

∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积，

∵S扇形FOC==π．

∴阴影部分的面积为π．

【点睛】

本题主要考查圆的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的证明以及扇形面积的计算，较为综合.

23、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．

【解析】

试题分析：利用关于点对称的性质得出的坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

试题解析：(1)△A1BC1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．

24、-1,-1,0,1,1

【解析】

分析：先求出不等式组的解集，然后求出整数解．

详解：，

由不等式①，得：x≥﹣1，

由不等式②，得：x＜3，

故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，

∴不等式组的整数解是：﹣1、﹣1、0、1、1．

点睛：本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．