人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质完美版课件ppt

人教版初中数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计

一、教学目标：

1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）

2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括图象的特点.（难点）  

3.掌握二次函数y=ax²的图象和性质，并会应用.（难点）

二、教学过程：

复习回顾

1.一次函数的图象是_________.
2.通常怎样画一个函数的图象：_________________.
3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？

结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法. 我们将从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.

知识精讲

作二次函数y=x2的图象.(列表、描点、连线)

在坐标平面中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=x2的图象.

    从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
    实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.

思考：

1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？___，如果是，它的对称轴是_____.
2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点.
    实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象.

解：分别列表，再画出它们的图象.

思考

观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？

    一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.

探究

    在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.

    一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.

    对比抛物线y=x2和y=-x2，它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=-ax2呢？

归纳 二次函数y=ax2的图象和性质

典例解析

例2.已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）直接写出顶点坐标和对称轴．

解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得

，

解得k=-3；

（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，

y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．

【针对练习】

已知是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大．

（1）求k的值；   

（2）求顶点坐标和对称轴．

解：（1）由y＝（k＋2）是二次函数，且当x＞0时，

y随x的增大而增大，得

解得k＝2；

（2）y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．

例3.已知二次函数y=x2．

（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？

（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；

（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？

解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；

（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；

当x=－2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；

当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数y=－x2的图象上；

当x=－2时，y=－x2=－4，所以点D在二次函数y=－x2的图象上．

【针对练习】

1．若二次函数y＝ax2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（  ）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（2，1）

解：∵二次函数的图象经过点（1，﹣2），

∴将（1，﹣2）代入得：，

∴二次函数的解析式为：，

当时，，即原函数图象经过点（﹣1，﹣2），

当时，，即原函数图象经过点（2，﹣8），

当时，，即原函数图象经过点（1，﹣2），

故选：A．

2．已知二次函数的图象开口向下，则m的值为___．

解：根据题意得：

解得：．

故答案为：．

例4.已知二次函数y＝ax2.

(1)若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1____y2；(填“> ”“＝”或“< ”)

(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____y2;(填“> ”“＝”或“< ”)

(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.

【针对练习】

1．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系正确的是（  ）

A． B． C． D．

解：把，代入得，

，，

∴，

故选：B．

3．已知：，且点都在函数的图像上，那么的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

解：∵点都在函数的图像上，

∴，，，

∵，

∴-4a＞0，-4a+4＞0，4a＜0，4a+4=4（a+1）＞0，

∴＞0，＜0，

∴，，

∴，

故选B．

例5．如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____．

解：∵函数yx2与yx2的图象关于x轴对称，

∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，

而边长为4的正方形面积为16，

所以图中的阴影部分的面积是8．

故答案为8．

【针对练习】

如图，正方形的边长为2,图中阴影部分的面积为________.

例6.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．

 (1)求抛物线解析式；

(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．

解：(1)把代入得：，

∴抛物线解析式为；

(2)设直线AB的函数解析式为，

把，代入得：，，

∴直线AB的解析式为，

将与联立得：

或，

∴，，

∴，

设，

∵，

∴，

解得：，（舍），

∴．

【针对练习】

在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

解：由题意得：

解得：或

∵点和点，其中

∴，

直线与y轴的交点坐标为：（0，1）

∴

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

达标检测

1．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（   ）

A．它的图象经过点（－1，－2）

B．它的图象的对称轴是直线x＝2

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0

2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点(   )

A.(2，4)    B.(-2，-4)     C.(-4，2)     D.(4，-2)

3.在同一坐标系中，与y=2x2的图象关于x轴对称的图象是(   )

A.y=x2        B.y=-x2           C.y=-2x2          D.y=-x2

4．抛物线，，的图象开口最大的是（ ）

A． B． C． D．无法确定

5．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）

A．2 B． C． D．

6．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____．

7.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．

三、教学反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.