专题24 空间向量及其应用（讲义+练习）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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第24练  空间向量及其应用 学校____________          姓名____________          班级____________ 一、单选题1．直三棱柱中，若，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知得，故选：A.2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B3．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.故选：A.4．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】 .故选：D5．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【详解】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故选：A6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B7．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直三棱柱的棱长为1，则，点D，E分别是棱，的中点，，，，所以．所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为．故选：A．8．已知向量，，，若，则实数（       ）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【详解】，因为，所以，所以，所以2.故选：B9．如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（       ） A． B． C． D．【答案】D【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为， 因为，所以，又，所以，,，则，所以，取中点E，连接，则，，,,在中，，即，所以，即，又因为，所以，因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．故选：D．10．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ） A．1 B． C． D．【答案】D【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.二、多选题11．若，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）A．若与不平行，且，则平面内不存在与平行的直线B．若，，，则C．若，，，则D．存在两条异面直线，，使得，，且，【答案】ABD【详解】对于A，若平面内存在与平行的直线，则，与已知矛盾，故A正确；对于B，由线面平行的性质定理易知B正确；对于C，，可能平行，也可能相交，所以C错误；对于D，若，易知D正确.故选：ABD.12．若，，与的夹角为120°，则的值为（       ）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【详解】由题意得解得或故选：BD13．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（       ）A．与垂直 B．与垂直C．与平行 D．与平行【答案】ABC【详解】如图所示，易知是中点，又分别是的中点，根据向量的运算：，显然不共线，故，又，故，于是A，C正确；又，且，故，故B正确；若，结合，根据平行的传递性，可知，又，则，显然是错误的，故D错误.故选：ABC.14．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（       ）A．点关于平面对称的点的坐标为B．若平面的法向量，则直线平面C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面D．点到直线的距离为【答案】ACD【详解】解：对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；对于B：因为，，所以，因为平面的法向量，所以，所以直线与平面不平行，故B错误；对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；对于D：因为，，所以，所以点到直线的距离，故D正确；故选：ACD三、解答题15．如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．(1)设为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，，设平面法向量为，则，，即，令，得到平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．16．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.【解析】(1)证明：∵底面，，故以为原点，分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则､､､､､，所以，，，则，，即，，又，所以平面(2)由(1)知，，，设平面AEB的一个法向量为，则，，即，令，可得，设平面的一个法向量为，则，，即，令，可得，，所以平面与平面锐二面角的大小为