专题17 复数（讲义+练习）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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第17讲  复数学校____________          姓名____________          班级____________ 一、知识梳理1.复数的有关概念(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.(2)分类： 满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.(5)复数的模：向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.当b＝0时，|z|＝＝|a|.2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.二、考点和典型例题1、复数的概念及几何意义【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为对应的点为，所对应的点关于虚轴对称，所以对应的点为，所以.故选：B.【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数，为虚数单位，是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，由，得，则，故A正确；对于B，因为，，所以，故B错误；对于C，由，得，所以，故C正确；对于D，因为，故D正确.故选：B.【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（       ）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】依题意，复数为实数，所以.故选：C【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】由得，则，则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.故选：A.【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由题意得，即，故，其对应的点 在第四象限，故选：D【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数满足，则的虚部为（      ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以复数的虚部为，故选：A.【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】由题得，即为复平面的点，故在第三象限.故选：C．【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．【答案】2＃＃＋2【详解】设复数z在复平面中对应的点为∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：．【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数满足，则实数等于_________.【答案】1【详解】解：因为，所以，因为为纯虚数，所以，解得；故答案为：【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.【答案】【详解】由题意得：，对应的点的坐标为.故答案为：  2、复数的运算【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知，是z的共轭复数，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由已知可得，因此，.故选：B.【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知是虚数单位，则的虚部是（       ）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】，故其虚部为，故选：D.【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚数单位，则复数的虚部为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】,所以的虚部为.故选：A.【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则（       ）A． B． C． D．【答案】A 【详解】，所以，所以.故选：A．【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则（       ）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【详解】∵，所以.故选：B．【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数=（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为所以.故选：A【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数的共轭复数为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】,所以复数的共轭复数为.故选：A.【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若，则（       ）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【详解】,,，所以.故选：A【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．【答案】##【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，∴其共轭复数也是方程的根.由根与系数的关系知，，∴ ，.∴故答案为：【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.【答案】2【详解】根据棣莫佛公式，由，因为，所以，故答案为：