专题10 导数与函数的单调性（针对训练）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第10练  导数与函数的单调性

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意；

对于B，函数是R上的减函数，不满足题意；

对于C，函数的定义域是，不满足题意；

对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意．

故选：A．

2．函数，则（       ）

A．为偶函数，且在上单调递增

B．为偶函数，且在上单调递减

C．为奇函数，且在上单调递增

D．为奇函数，且在上单调递减

【答案】A

【详解】

函数定义域为R，

且，所以为偶函数，故排除选项C，D；

又当时，，则在上单调递增，故选项A正确，选项B错误，

故选：A．

3．函数的单调递增区间（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：因为函数，所以，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为，

故选：C.

4．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.

故选：A．

5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题可知，恒成立，

故，即．

故选：A﹒

6．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为对任意，，恒成立，

所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，

又，表示点与点的连线的斜率，

由图可知

即，

故选：A

7．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，且，可得，

则等价于，

即，所以，故，

令，则，

因为，所以在上为单调递减函数，

又由，解得，所以，

所以实数的最小值为.

故选：D.

8．已知关于x的方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：令，

因为函数在上递增，

所以函数在上递增，

又，

所以存在，使得，

所以在上函数有唯一的零点，即方程有唯一的解，

又因为关于x的方程有三个不同的实数根，

所以当时，原方程要有两个不同的实数根，

当时，

由得，

则，

则与的图像有两个交点，

设，

，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

当时，，当时，，

结合图像可知，，则．

故选：C．

二、多选题

9．已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ）

A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1

【答案】BC

【详解】

定义域为R，，

令得：或1，

当时，，当时，，

如下表：

从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，

BC正确，

由于恒成立，所以函数无零点，A错误，

当时，，故函数无最小值，D错误；.

故选：BC

10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．3是的极小值点

B．是的极小值点

C．在区间上单调递减

D．曲线在处的切线斜率小于零

【答案】AD

【详解】

A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，

单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；

B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，

单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；

C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；

D：：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，

故选：AD

11．已知，下列说法正确的是（       ）

A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为

C．的极大值为 D．方程有两个不同的解

【答案】BC

【详解】

对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，

对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，

对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，

对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，

故选：BC

12．已知函数，则（       ）

A．的极大值为 B．的极大值为

C．曲线在处的切线方程为 D．曲线在处的切线方程为

【答案】BD

【详解】

解：因为，所以，所以当或时，当时，

所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；因为.所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确；

故选：BD

三、解答题

13．已知函数，若，求的单调区间.

【详解】

由，

，令，得，，

当时，，

当时，，

所以单调递增区间为；单调递减区间为.

14．已知.

（1）当时，讨论的单调区间；

（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.

【详解】

（1）当时，

则，

令，得

令，得

所以的单调递增区间为

单调递减区间为

（2）由题可知：在定义域R内单调递增

等价于

由在上单调递增，又

则

15．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；

【详解】

由题设，，     

当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，令 得或，   

当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.

当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；

16．已知函数.讨论的单调性；

【详解】

函数的定义域为，且.

①当时，，函数在上单调递减；

②当时，令，可得；令，可得，

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；