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专题07 函数与方程(针对训练)-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典(新高考专用)
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第7练 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1.设函数的零点为,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
易知在R上单调递增且连续.由于,,,当时,,所以.
故选:B
2.已知函数,则函数零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【详解】
当时,,所以不存在零点;
当时,,也不存在零点,所以函数的零点个数为0.
故选:A.
3.已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
函数有两个不同的零点,
即为函数与直线有两个交点,
函数图象如图所示:
所以,
故选:D.
4.已知函数,且f(x)在[0,]有且仅有3个零点,则的取值范围是( )
A.[,) B.[,) C.[,) D.[,)
【答案】D
【详解】
因为,当时,,
因为函数在上有且只有3个零点,
由余弦函数性质可知,解得.
故选:D.
5.已知函数,,的零点分别为、、,则、、的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
因为函数、均为上的增函数,故函数为上的增函数,
因为,,所以,,
因为函数、在上均为增函数,故函数在上为增函数,
因为,,所以,,
由可得,因此,.
故选:A.
6.已知直线与函数的图象恰有个公共点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
根据题意,函数,作出的图象:
当时,直线和函数的图象只有一个交点;
当时,直线和函数的图象只有一个交点,
直线和函数的图象有2个交点,即方程在上有2个实数根,
,
则有,解可得,
即的取值范围为,;
故答案为:,.
7.设函数有5个不同的零点,则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
易知函数、在上为增函数,
所以当时,函数单调递增,
当无限接近0时,,当时,,
所以函数在上存在一点,使得,
即在上有且只有一个零点;
所以当时,函数有4个零点,
令,即Z,解得Z,
由题可得区间内的4个零点分别是,
所以即在之间,
即,解得
故选:A
8.已知函数若,,,且仅有1个零点,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
因为R,有,即,
即与同号,所以在R上单调递增,
即在上单调递增,则,故;
因为在处的切线方程为,即,
又,所以与没有公共点,
若函数仅有一个零点,
所以函数与图象仅有一个交点,
则与有且仅有1个公共点,且为,
所以在处的切线的斜率k大于等于1,
而,得,
即,解得,
综上,的取值范围为.
故选:C.
二、多选题
9.下列函数有两个零点的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】
解:对于A:令,即,即,解得,故A正确;
对于B:令,即,即,即或,令,则,则时,即函数在上单调递减,当时,即函数在上单调递增,所以当时函数取得极小值即最小值,,即在定义域上只有一个零点,综上可得函数有两个零点和,故B正确;
对于C:令,即,解得,故C错误;
对于D:因为,所以函数的定义域为,令,即,所以或,解得;解即,即(舍去),所以有两个零点和,故D正确;
故选:ABD
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,f(x),m∈R,那么函数g(x)=f(x)﹣2在定义域内的零点个数可能是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】BC
【详解】
解:由得,
,不是方程的根.
当x>0时,f(x),
当0<x≤2时,令3x﹣x2=2,解得x=1或2共有两个解;
当x>2时,令,即(m﹣2)x=2m,
当m=2时,方程无解,
当m>2时,方程有解x2,符合题意,
当m<2时, x2,不符合题意,方程无解.
所以当x>0时,f(x)=2有2个或3个根,
而函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以函数g(x)=f(x)﹣2在定义域内的零点个数可能是4或6,
故选:BC.
11.已知函数,ω>0.若函数在上恰有2个零点,则ω的可能值是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】
时,上恰好有2个零点,
∴,则,故B、C、D中的对应值在内.
故选:BCD
12.已知函数(为正整数),则下列判断正确的有( )
A.对于任意的正整数,为奇函数
B.存在正整数,的图像关于轴对称
C.当为奇数时,有四个零点
D.当为偶数时,有两个零点
【答案】BD
【详解】
当为偶数时,可得,此时函数为偶函数,
所以函数的图象关于轴对称,所以A不正确,B正确;
当时,函数,令,即,解得,
此时函数仅有2个零点,所以C不正确;
令,可得,令,即,
即,可得,即,所以或,
此时函数仅有2个零点,所以D正确.
故选:BD.
三、填空题
13.函数的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.
【答案】(答案不唯一)
【详解】
函数的图象在区间(0,2)上连续不断,且“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题,可知函数满足在(0,2)上存在零点,且,所以满足题意的函数解析式可以为.
故答案为:(答案不唯一).
14.函数有三个不同的零点,则实数t的范围是__________.
【答案】
【详解】
作出函数的图象和直线,如图,
由图象可得时,直线与函数图象有三个交点,即函数有三个零点.
.
故答案为:.
15.已知函数.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
画出的图象如下图所示,
,
即与的图象有两个交点,
由图可知,的取值范围是.
故答案为:
16.已知是定义在R上的奇函数,且是偶函数,当时,.设,若关于x的方程有5个不同的实根,则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
因为是偶函数,所以有,
所以函数的对称轴为,
由,
而是定义在R上的奇函数,
所以有,因此有,
因此,所以,
因此函数的周期为,
当时,,
当时,,
当时,;
当时,
当时,,
因此有:
当时,;
当时,;
当时,;
当时,,
当时,,
因为,
所以函数的周期为,
所以函数的图象如下图所示:
关于x的方程有5个不同的实根,
等价于函数的图象与直线有5个不同的交点,
当时,当直线经过时,此时函数的图象与直线有5个不同的交点,则有,
当直线经过时,此时函数的图象与直线有6个不同的交点,则有,
因此当时,函数的图象与直线有5个不同的交点,
当时,当直线经过时,此时函数的图象与直线有5个不同的交点,则有,
当直线经过时,此时函数的图象与直线有6个不同的交点,则有,
因此当时,函数的图象与直线有5个不同的交点,
当时,函数的图象与直线没有交点,
所以实数m的取值范围是或,
故答案为:
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