专题04 函数及其性质（针对训练）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知函数若，则m的值为（ ）
A．B．2C．9D．2或9
【答案】C
【详解】
∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
2．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则x的值是1或
【答案】B
【详解】
解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
3．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
函数的图象关于直线对称，则必有，所以，,
,又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故选：A
4．若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（ ）
A．是周期函数B．是单调函数
C．关于点对称D．关于原点对称
【答案】C
【详解】
由题意得，即，故，
令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，
故选：C.
5．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
是奇函数，恒成立，
即恒成立，
化简得，，即，
则，解得，又且，，
则，所以，
由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，
所以在上单调递减；由恒成立得，
恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递减，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为函数是定义在R上的偶函数，所以的图象关于直线对称.因为在上单调递减，所以在上单调递增.
因为，所以.
所以当时，；当时，．
由，得或解得．
故选：C
7．函数，若，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
依题意，且，
故，，
.
，
在上递增，，，
所以，
所以的范围是.
故选：A.
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
函数，则，
因，则不等式成立必有，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又，
当时，，于是得，即，令，
当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解，
当时，，于是得，即，此时，
函数在上单调递增，，，不等式解集为，
所以不等式的解集为.
故选：B
二、多选题
9．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为4B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】
因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
10．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于点对称D．
【答案】ABCD
【详解】
对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，
可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；
对于选项B：
由函数对任意都有，可得，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，可得，
则，所以B正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；
由对任意的，且，都有，
可得函数在区间上为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.
故选：ABCD
11．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
【答案】BC
【详解】
设，将点代入，
得，则，即，
对于A：的定义域为，即选项A错误；
对于B：因为的定义域为，
所以不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为，所以，
设切点坐标为，则切线斜率为，
切线方程为，又因为切线过点，
所以，解得，
即切线方程为，即，
即选项C正确；
对于D：当时，
，
即成立，即选项D错误．
故选：BC．
12．已知函数，则（ ）
A．的定义域为RB． 是奇函数
C．在上单调递减D． 有两个零点
【答案】BC
【详解】
对：的定义域为，错误；
对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；
对：当时，，单调递减，正确；
对：因为，，所以无解，即没有零点，错误．
故选：.
三、填空题
13．已知函数为奇函数，则______．
【答案】2或
【详解】
函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
14．已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
【答案】2
【详解】
由偶函数的对称性知：在、上各有一个零点且，
所以，则或，
当时，在上，则，
所以在上递增，，故无零点，不合要求；
当时，在上，则，
所以在上递减，在上递增，
则且，，故上有一个零点，符合要求；
综上，.
故答案为：2
15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③.
【答案】（答案不唯一）
【详解】
由条件①②③可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数.
故答案为：（答案不唯一）
16．已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，，且时，都有，有下列命题：
①；
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【详解】
，令得，，令得，，
所以，又是奇函数，
，，是周期函数，4是它的周期，
当，，且时，都有，即时，，在是增函数，由奇函数性质知在上也是增函数，所以在上递增，
所以，从而，
，
，①正确；
，则函数图象关于直线对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点对称，②正确；
由上讨论知在上有2个零点，，
注意，
因此在上零点个数为，③正确；
由周期性知函数在与时的图象相同，函数同为增函数，④错误．
故答案为：①②③．