专题03 均值不等式及其应用（针对训练）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【详解】
设，则，故，其中，
，
由，
当且仅当，时等号成立，
此时，满足，
故的最小值为，
故选：D.
2．函数的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【详解】
因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，，，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
4．函数的最小值为（ ）
A．7B．7C．6D．2
【答案】B
【详解】
，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数中最小值为
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【详解】
由可得，所以，A对，
当时，函数的函数值为-10，故B错，
当时，，所以，C错，
取，则，D错，
故选：A.
6．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
7．已知中，点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【详解】
因为点D为线段（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足，
所以，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：A
8．若，且，则的最小值为（ ）
A．9B．3C．1D．
【答案】C
【详解】
解：因为，所以，
因为
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为.
故选：C
二、多选题
9．已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】
由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确.
故选：ABC．
10．已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是1
C．的最小值是D．的最大值是
【答案】BC
【详解】
因为，所以，
所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．
因为，
故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
11．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】
对于A，，最小值为2；
对于B，，当且仅当，时取得最小值2；
对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；
对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
12．设，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】
对于A：，且，，解得，故A正确；
对于B：，即，，故B错误；
对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；
对于D，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
∵－3＝，∴，∴D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若，，且，则的最小值为___________
【答案】##
【详解】
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，即时取等号，
，当且仅当时取等号，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
故答案为：
14．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】##0.75
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
15．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）
【答案】
【详解】
设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，
又这两年的平均增长率为，所以，
因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：
16．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则_________.
【答案】0
【详解】
因为总体的中位数为90，所以，
平均数为，
要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，
又，
当且仅当时，即时等号成立，
故.
故答案为：0
四、解答题
17．已知，，，求证：
(1)；
(2).
【解析】(1)
由题意，因为，且，
所以，当且仅当时，取“=”，
所以，所以．
(2)
由，
所以
，
，所以，
所以，所以，
所以．
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
(2)该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？