专题02 不等式（针对训练）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知集合，则=（ ）
A．[-1，4)B．[-1，2)C．(-2，-1)D．∅
【答案】A
【详解】
由题设，，而，
所以.
故选：A
2．已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】B
【详解】
由于二次函数（）的值域为，
所以，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：B
3．若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【详解】
∵，，
∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．
故选：D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意知，，
所以．
故选：C．
5．已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为为偶函数，所以，即
解之得，经检验符合题意.则
由，可得
故的解集为，
故选：B.
6．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
当时，不等式为恒成立，故满足要求；
当时，要满足：
，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
7．函数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【详解】
因为，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故选：A
8．设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：法一：（基本不等式）
设，则，
条件，
所以，即.
故选：D.
法二：（三角换元）由条件，
故可设，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,当且仅当时取等号.
故选：D.
二、多选题
9．已知，则a，b满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】
由，则,则
所以，所以选项A正确.
,所以选项B不正确.
由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.
因为，故等号不成立，故选项D正确.
故选：ACD
10．已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】
由题意可知，（当且仅当时取等号），故A正确；
取，则，故BC错误；
因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故D正确；
故选：AD
11．已知，直线与曲线相切，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】
设直线与曲线相切的切点为，
由求导得：，则有，解得，
因此，，即，而，
对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；
对于C，因，则有，即，
当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确；
对于D，由，得，，，而函数在R上单调递增，
因此，，D不正确.
故选：AC
12．已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】
由得，当且仅当时取等，A正确；
由得，当且仅当时取等，B正确；
由正数a，b及知，，可得，故，C错误；
令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．命题“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
若命题“”为假命题，则命题“”为真命题，即在上恒成立，
则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知，，，则的最小值为__．
【答案】
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
15．若，，，，则的最小值为______．
【答案】##
【详解】
由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
16．设，，，则的最小值为______．
【答案】#.
【详解】
因为，所以
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：当时，；
当时，；
当时，，所以 ，
综上函数的值域为
(2)
因为，，当且仅当，即时等号成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知当时，不合题意；当时，恒成立；当时，，解得，综上，所以x的取值范围为.
18．已知函数
(1)若不等式的解集为，求实数a的值.
(2)若，求证:.
【解析】(1)
即，
所以，即，显然.
当时，，则，解得：；
当时，，则，无解.
综上可知，.
(2)
证明：
，
等号成立的条件是与同号，
，，，当且仅当，即时等号成立，
，
，
.