2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：平行四边形（优生集训）

这是一份2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：平行四边形（优生集训），共45页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。

一、综合题
1．化简、求解
（1）若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|.
（2）已知一正多边形的内角与其相邻的外角的比为3：1，求该多边形的边数.
2．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.
（1）若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
（2）若∠BOC＝ α ，则∠BDC＝ ；（直接写出结果）
（3）直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.
3．看对话答题：
小梅说：这个多边形的内角和等于1125°
小红说：不对，你少加了一个角
问题：
（1）他们在求几边形的内角和?
（2）少加的那个内角是多少度?
4．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，l是过点C的任意一条直线，过A作AD⊥l于D，过B作BE⊥l于E.
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）如图②延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰Rt△FCG，∠FCG＝90°，连接AG交l于H.求证：BF＝2CH.
（3）在（2）的条件下，若AD＝12，BF＝15，BC＝13，请直接写出点G到直线AC的距离.
5．已知,在 ▱ABCD 中, AB⊥BD , AB＝BD , E 为射线 BC 上一点,连接 AE 交 BD 于点 F ．
（1）如图1,若点 E 与点 C 重合,且 AF=5 ,求 AB 的长;
（2）如图2,当点 E 在 BC 边上时,过点 D 作 DG⊥AE 于 G ,延长 DG 交 BC 于 H ,连接 FH ．求证: AF=DH+FH ;
（3）如图3,当点 E 在射线 BC 上运动时,过点 D 作 DG⊥AE 于 G , M 为 AG 的中点,点 N 在 BC 边上且 BN=1 ,已知 AB=52 ,请直接写出 MN 的最小值．
6．如图，平面直角坐标系中，已知点C的坐标为（ 3 ，﹣2），直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，且点B的坐标为（0，3），∠BAO＝30°.
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D是y轴上一动点，点E（ 3 ，m）在直线AB上，当CD+DE取得最小值时，求出D、E两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P使得以P、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
7．如图，直线l1经过A（6，0）、B（0，8）两点，点C从B出发沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点D从A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）.
（1）求直线l1的表达式；
（2）当t＝ 时，BC＝BD；
（3）将直线l1沿x轴向右平移3个单位长度后，与x轴，y轴分别交于E、F两点，求四边形BAEF的面积；
（4）在平面内，是否存在点P，使O、A、B、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．
（1）若DE＝ 12OD，BF＝ 12OB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
（2）若DE＝ 13OD，BF＝ 13OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE＝ 1nOD，BF＝ 1nOB呢？请直接写出结论．
9．如图，直线 y=−12x+3 分别与 x 轴、 y 轴交于 A, B 两点，与直线 y=x 交于点 C ，过点 C 平分△ AOC 面积的直线交 x 轴于点 D .
（1）求线段 CD 的长；
（2）点 E 在 y 轴上，当△ DCE 周长最小时，求点 E 的坐标（不用证明周长最小）；
（3）点 P 是直线 AB 上的一个动点，在平面内是否存在点 Q ，使以 A、D、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且面积等于△ AOC 的面积？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线y =−14 x+3经过点B，与y轴交于点C．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的 AB 边在 x 轴上， AB=3 ， AD=2 ，经过点 C 的直线 y=x−2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 E 、 F .
（1）求点 D 的坐标；
（2）问直线 y=x−2 上是否在点 P ，使得 △PDC 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在平面直角坐标系内确定点 M ，使得以点 M 、 D 、 C 、 E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 M 的坐标.
12．如图在平面直角坐标系之中，点 O 为坐标原点，直线 y=−34x+3 分别交x、y轴于点 B 、 A .
（1）如图1，点 C 是直线 AB 上不同于点 B 的点，且 CA=AB .则点 C 的坐标为
（2）点 C 是直线 AB 外一点，满足 ∠BAC=45° ，求出直线 AC 的解析式.
（3）如图2，点 D 是线段 OB 上一点，将 △AOD 沿直线 AD 翻折，点 O 落在线段 AB 上的点E处，点M在射线 DE 上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
13．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−32x−23 与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（2，0）.
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是线段AC上一动点，若直线BP把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点P的坐标；
（3）若点P是直线AC上一动点，点E是坐标轴上一动点，则是否存在动点P使以点B，C，P，E为顶点的四边形是以BC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
14．如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴y轴交于A、B两点，已知点A的坐标是（4，0），B的坐标是（0，3）.
（1）求直线l的解析式；
（2）若点C（3，0）是线段OA上一定点，点P（x，y）是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中△POC的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，若S＝ 94 ，此时在坐标平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
15．如图，在 ▱ABCD 中， ∠ABC=60° ， ∠BAD 的平分线交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ，连接 DF .
（1）求证： △ABF 是等边三角形；
（2）过点 F 作 FG⊥EC 于 G ，若 AD=1 ， AB=3 ，求 DF 的长度.
16．如图，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，且 OA=2 ， OB=1 ，点C在y轴负半轴上，且 AB:BC=1:5 .
（1）求直线AC的函数解析式；
（2）若P是线段CA上的一动点，且从点C出发，由点C向点A以每秒2个单位长度的速度匀速运动，连接BP，设 △ABP 的面积为S，点P的运动时间为t秒，写出s关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）若P是直线AC上的一动点，Q是直线AB上的一动点，是否存在一点P使以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C.
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.
18．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE.
（1）（模型研究）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）（模型推广）如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）（模型应用）若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长.
19．如图，平面直角坐标系中，直线 y=kx+b 经过点 A(2,0) ， D(0,1) ，点 B 是第一象限的点且 AB=5 ，过点 B 作 BC⊥y 轴，垂足为 C ， CB=1 ．
（1）直线 y=kx+b 的解析式；
（2）求点 B 坐标；
（3）若点 M 是直线 AD 上的一个动点，在 x 轴上存在另一个点 N ，且以 O 、 B 、 M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 N 的坐标．
20．如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）延长 AE 至 G ，使 EG=AE ，连接 CG ，延长 CF ，交 AD 于点 P ．
①当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由；
②若 AP=2DP=8 ， CP=17 ， CD=5 ，求四边形 EGCF 的面积．
21．综合与实践:
【问题情境】
在数学综合实践课上,老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆,并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1, △ABC≌△DEF, AB=AC, DE=DF．
（1）【猜想探究】
“勤奋小组”的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放,点A与点D重合,连接 BE和 CF．他们发现 BE和 CF之间存在着一定的数量关系,这个关系是 ．
（2）【类比验证】
“创新小组”的同学在“勤奋小组”的启发下,把这两张纸片按如图3的方式摆放,点F,A,D,C在同一直线上,连接 BF和 CE,他们发现了 BF和 CE之间的数量和位置关系,请写出这些关系并说明理由;
（3）【操作展示】
请你利用 △ABC和 △DEF纸片进行拼摆,将拼摆出的图形画在图4中（要求不得与图2,图3相同）,并根据图形写出一条正确的数学结论．
22．如图
（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= 12 BC.
（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：
①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= 12 （AD+BC）
②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 3 ，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值.
23．
（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB的度数是 ；
（2）如图2，若∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB= （用含α，β的代数式表示）；
（3）如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请说明理由；
（4）如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与α，β满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论.
24．如图，在四边形 ABCD 中， ∠BAD 的角平分线与边 BC 交于点E， ∠ADC 的角平分线交直线 AE 于点O.
（1）若点O在四边形 ABCD 的内部，
①如图，若 AD//BC ， ∠B=40° ， ∠C=70° ，则 ∠DOE= （ ）；
②如图，试探索 ∠B 、 ∠C 、 ∠DOE 之间的数量关系，并将你的探索过程写下来.
（2）如图，若点O是四边形 ABCD 的外部，请你直接写出 ∠B 、 ∠C 、 ∠DOE 之间的数量关系.
25．如图，在四边形 ABCD 中， BE 和 DF 分别平分四边形的外角 ∠MBC 和 ∠NDC ， BE 与 DF 相交于点 G ，若 ∠BAD=α,∠BCD=β ．
（1）如图1，若 α+β=168° ，求 ∠MBC+∠NDC 的度数；
（2）如图1，若 ∠BGD=35° ，试猜想 α、β 所满足的数量关系式，并说明理由．
（3）如图2，若 α=β ，判断 BE、DF 的位置关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|
=b+c-a+a+c-b+c+a-b
=a-b+3c
（2）解：∵正多边形的内角与其外角的度数比为3：1
∴每一个外角为180°× 14 ＝45°
∴边数＝360°÷45°＝8
即这个多边形的边数为8.
2．【答案】（1）解：过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中， DB=DCDE=DF
∴△DEB≌△DFC（HL）
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=60゜，
∴∠BDC=∠EDF=120゜.
（2）180°－α
（3）OB＋OC＝2OF
3．【答案】（1）解：设少加的度数为x°，此多边形为n边形.
∵1125+x=（n-2）×180，
∴x=180（n-2）-1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜180（n-2）-1125＜180，
∴8.25＜n＜9.25，
∴n=9；
∴他们在求九边形的内角和；
（2）解：∴x=180（n-2）-1125=135°.
∴少加的那个内角的度数是135°.
4．【答案】（1）证明：如图①中，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC+∠DCA＝∠ECB+∠DCA＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB ，
∴△ADC≌△CEB（AAS）.
（2）证明：如图②中，作AM∥CG交EH于M，连接GM.
∵∠MAC+∠ACG＝180°，∠ACG+∠BCF＝180°，
∴∠MAC＝∠BCF，
∵∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACM＝∠CBF，
在△ACM和△CBF中，
∠MAC=∠BCFAC=BC∠ACM=∠CBF ，
∴△MAC≌△CBF，
∴CM＝BF，AM＝CF＝CG，∵AM∥CG，
∴四边形AMGC是平行四边形，
∴MH＝HC，
∴BF＝CM＝2CH.
（3）解：∵△MAC≌△CBF，
∴CM＝BF＝15，
∵AC＝BC＝13，
∴S四边形AMCG＝2•S△AMC＝AC•h（h是点G到AC的距离），
∴2× 12 ×15×12＝13h，
∴h＝ 18013
5．【答案】（1）解：如图1中，
∵AB⊥BD ,
∴∠ABD=90° ,
∵AB=BD ,
∠BAD=45° ,
∴∠BDA=∠BAD=45° ,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴E 、 C 重合时 BF=12BD=12AB ,
在 RtΔABF 中,
∵AF2=AB2+BF2 ,
∴(5)2=(2BF)2+BF2 ,
∴BF=1 , AB=2 ,
∴AB=2 ;
（2）证明：如图2中，在 AF 上截取 AK=HD ,连接 BK ,
∵AB⊥BD , DG⊥AE ,
∴∠ABF=∠FGD=90° ,
∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3 , ∠ABF=∠FGD=90° ,
∴∠2=∠3 ,
在 ABK 和 ΔDBH 中, AB=BD∠2=∠3AK=HD ,
∴ΔABK≅ΔDBH ,
∴BK=BH , ∠6=∠1 ,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC ,
∴∠4=∠1 ,
由（1）知 ∠4=45° ,
∴∠l=∠6=45° ,
∴∠5=∠ABD−∠6=45° ,
∠5=∠1 ,
在 ΔFBK 和 ΔFBH 中, BF=BF∠5=∠1BK=BH ,
∴ΔFBK≅ΔFBH ,
∴KF=FH ,
∵AF=AK+KF ，
∴AF=DH+FH ；
（3）解： MN 的最小值为 149−52 ．
6．【答案】（1）解： ∵B(0,3) ，
∴OB=3 ，
在 Rt△AOB 中， ∠AOB=90°,∠BAO=30° ，
∴AB=2OB=6,OA=AB2−OB2=33 ，
∴A(33,0) ，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ，
将点 A(33,0),B(0,3) 代入得： 33k+b=0b=3 ，解得 k=−33b=3 ，
则直线 AB 的解析式为 y=−33x+3 ；
（2）解：如图，作点 C 关于 y 轴的对称点 C′ ，连接 DC′,EC′ ，
由轴对称的性质得： C′(−3,−2),DC′=CD ，
∴CD+DE=DC′+DE ，
由两点之间线段最短得：当点 C′,D,E 共线，即点 D 为直线 EC′ 与 y 轴的交点时， DC′+DE 取得最小值，
将点 E(3,m) 代入 y=−33x+3 得： m=−33×3+3=2 ，
则 E(3,2) ，
设直线 EC′ 的解析式为 y=k0x+b0 ，
将点 E(3,2),C′(−3,−2) 代入得： 3k0+b0=2−3k0+b0=−2 ，解得 k0=233b0=0 ，
则直线 EC′ 的解析式为 y=233x ，
当 x=0 时， y=0 ，
即当 CD+DE 取得最小值时，点 D 的坐标为 D(0,0) ；
（3）解：设点 P 的坐标为 P(a,n) ，
由题意，分以下三种情况：
①当四边形 CDEP 是平行四边形，则 CE,DP 的中点重合，
因此有 0+a2=3+320+n2=−2+22 ，解得 a=23n=0 ，
即 P(23,0) ；
②当四边形 CEDP 是平行四边形，则 CD,EP 的中点重合，
因此有 3+a2=3+022+n2=−2+02 ，解得 a=0n=−4 ，
即 P(0,−4) ；
③当四边形 CDPE 是平行四边形，则 DE,CP 的中点重合，
因此有 3+a2=0+32−2+n2=0+22 ，解得 a=0n=4 ，
即 P(0,4) ；
综上，存在这样的点 P ，点 P 的坐标为 (23,0) 或 (0,−4) 或 (0,4) .
7．【答案】（1）解：设直线 l1 的表达式为y＝kx＋b，
将A（6，0）、B（0，8）代入得： 6k+b=0b=8 ，
解得： k=−43b=8 ，
∴直线 l1 的表达式为 y=−43x+8
（2）103
（3）解：由平移可得：直线EF的关系式为： y=43(x−3)+8=−43x+12 ，
当x＝0时，y＝12，F（0，12），
当y＝0时，x＝9，E（9，0），
S四边形BAEF=S△EFO−S△ABO ，即 S四边形BAEF=12×9×12−12×6×8=30 ，
答：四边形BAEF的面积是30；
（4）解：存在，理由：
设点P（m，n），而点A、B、O的坐标分别为（6，0），（0，8），（0，0）.
①当AB是边时，
点A向左平移6个单位向上平移8个单位得到点B，
同样点O（P）向左平移6个单位向上平移8个单位得到点P（O），
即0﹣6＝m且0＋8＝n或0＋6＝m且0﹣8＝n，
解得 m=−6n=8 或 m=6n=−8 ；
②当AB是对角线时，
由中点公式得： 12 （6＋0）＝ 12 （0＋m）且 12 （0＋8）＝ 12 （0＋n），
解得 m=6n=8 ；
综上点P的坐标为：（6，8）或（﹣6，8）或（6，﹣8）.
8．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝ 12 OD，BF＝ 12 OB，
∴DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
②解：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD．
∵OA＝OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE．
∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），
∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）
（2）解：若DE＝ 13 OD，BF＝ 13 OB，四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵DE＝ 13 OD，BF＝ 13 OB，OD＝OB，
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
若DE＝ 1n OD，BF＝ 1n OB，则四边形AFCE为平行四边形，
理由：∵DE＝ 1n OD，BF＝ 1n OB，OD＝OB．
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
9．【答案】（1）解：由题意得 y=−12x+2y=x ，解得 x=2y=2 ，
∴C(2，2)，
∵平分△ AOC 面积的直线交 x 轴于点 D ，
∴OD=AD ，
当x=0时， y=−12x+3 =3，
∴B(0,3) ，
当y=0时， 0=−12x+3 ，∴x=6，
∴A(6,0) ，
∴D(3,0) ，
作 CH⊥OA 于点 H ，则CH=2， DH= 3-2=1，
在 Rt △ CHD 中， CD=CH2−HD2=5 ；
（2）解：作点 D 关于 y 轴的对称点 F ，连接 FC 交 y 轴于点 E ，连接 ED ，点 E 即为满足条件的点，由对称性可得 F(−3,0) .
设直线 FC 的解析式为 y=kx+b ，把 F(−3,0) ，C(2，2)代入得，
∴2k+b=2−3k+b=0 ，解得 k=25b=65 ，
∴y=25x+65 ；
令 x=0 ，则 y=65 ，∴E(0,65) ；
（3）解：存在满足条件的点 Q ，其坐标为 (−1,2) 或 (5,2) 或 (7,−2) 或(13，-2)，
使以 A、D、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且面积等于△ AOC 的面积
∵S△AOC=2S△ADC ， S平行四边形=S△AOC ，
∴S平行四边形=2S△PAD ，
当 P 在 x 轴上方与点 C 重合时，
∵A(6,0) ， D(3,0) ，
∴AD=3，
∵P1(2，2)，
∴由平移的性质可知Q1(-1，2)或Q2(5，2)；
当点P平在 x 轴下方的直线 AB 上，且到 x 轴的距离等于2时，
设P2(x， −12x+3 )，则 −12x+3 =-2，
解得x=10，
∴P(10，-2)，
由平移的性质可知Q3(7，-2)或Q4(13，-2)；
综上可知，点 Q 坐标为 (−1,2) 或 (5,2) 或 (7,−2) 或(13，-2).
10．【答案】（1）（4，2）
（2）解：令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示．
∵AB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴AB//CO，
∴∠MDA=∠DCO．
∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE=5．
对于y =−14 x+3，当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），
∵CE=(4−0)2+(m−3)2=5
∴m1=6，m2=0，
∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）．
设直线l的解析式为y=kx+3，
∴1=4k+3或-5=4k+3，
解得： k=−12 或k=-2，
∴直线l的解析式为： y=−12x+3 或y=-2x+3．
（3）解：由（2）可知，点E的坐标为（4，6）或（4，0）
当点E的坐标为（4，6）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
∴OE的解析式为 y=32x ，
设P（a， −12a+3 ），Q（b， 32b ），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴0+42=a+b23+22=−12a+3+32b2 ；解得 a=2b=2 ，
∴P（2，2），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，
∴0+b2=a+423+32b2=−12a+3+22 ；解得 a=−2b=2 ，
∴P（-2，4），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴0+a2=b+423−12a+32=32b+22 ；解得 a=5b=1 ，
∴P（5， 12 ），
当点E的坐标为（4，0）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3）
设P（a， −2a+3 ），Q（b，0），
①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分，
∴0+42=a+b23+22=−2a+32 ；解得 a=−1b=5 ，
∴P（-1，5），
②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分，
∴0+b2=a+423+02=−2a+3+22 ；解得 a=1b=5 ，
∴P（1，1），
③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分，
∴0+a2=b+423−2a+32=0+22 ；解得 a=2b=−2 ，
∴P（2，-1），
综上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5， 12 ）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1）
11．【答案】（1）解：设点 C 的坐标为 (m,2) ，
∵ 点 C 在直线 y=x−2 上，
∴2=m−2 ，
∴m=4 ，
即点 C 的坐标为 (4,2) ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=3 ， AD=BC=2 ，
∴ 点 D 的坐标为 (1,2)
（2）解：存在.
∵ΔEBC 为等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45° ，
又 ∵DC//AB ，
∴∠DCE=∠CEB=45° ，
∴ΔPDC 只能是以 P 、 D 为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当 ∠D=90° 时，延长 DA 与直线 y=x−2 交于点 P1 ，
∵ 点 D 的坐标为 (1,2) ，
∴ 点 P1 的横坐标为1，
把 x=1 代入 y=x−2 得， y=−1 ，
∴ 点 P1(1,−1) ；
②当 ∠DPC=90° 时，作 DC 的垂直平分线与直线 y=x−2 的交点即为点 P2 ，
所以，点 P2 的横坐标为 1+42=52 ，
把 x=52 代入 y=x−2 得， y=12 ，
所以，点 P2(52 ， 12) ，
综上所述，符合条件的点 P 的坐标为 (1,−1) 或 (52 ， 12)
（3）解：当 y=0 时， x−2=0 ，
解得 x=2 ，
∴OE=2 ，
∵ 以点 M 、 D 、 C 、 E 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ 若 DE 是对角线，则 EM=CD=3 ，
∴OM=EM−OE=3−2=1 ，
此时，点 M 的坐标为 (−1,0) ，
若 CE 是对角线，则 EM=CD=3 ，
OM=OE+EM=2+3=5 ，
此时，点 M 的坐标为 (5,0) ，
若 CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为 (52 ， 2) ，
设点 M 的坐标为 (x,y) ，
则 x+22=52 ， y+02=2 ，
解得 x=3 ， y=4 ，
此时，点 M 的坐标为 (3,4) ，
综上所述，点 M 的坐标为 (−1,0) 或 (5,0) 或 (3,4) .
12．【答案】（1）（-4，6）
（2）解：如图2，射线 AC 在直线 AB 的上方，射线 AC′ 在直线 AB 的下方， ∠BAC=∠BAC′=45° ；
作线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 G ，交 AC′ 于点 H ，交 AB 于点 Q ，连接 BG 、 BH ，则 Q(2,32) ；
作 GP⊥y 轴于点 P ， GF⊥x 轴于点 F ，则 AG=BG ， AH=BH ，
∵BG=AG ， BH=AH ，
∴∠GBA=∠BAC=45° ， ∠HBA=∠BAC′=45° ，
∴∠BGA=∠GAH=∠AHB=90° ，
∴ 四边形 AHBG 是正方形；
∵∠AGB+∠AOB=180° ，
∴∠GBF+∠OAG=180° ，
∵∠GAP+∠OAG=180° ，
∴∠GBF=∠GAP ，
∵∠GFB=∠GPA=90° ，
∴ΔGBF≅ΔGAP(AAS) ，
∴BF=AP ， GF=GP ，
∵∠FOP=∠OPG=∠GFO=90° ，
∴ 四边形 OFGP 是正方形，
∴OF=OP ，
∵OB=4 ， OA=3 ，
∴4−BF=3+AP ，
∴4−AP=3+AP ，
解得 AP=12 ，
∴OP=OF=3+12=72 ，
∴G(72 ， 72) ；
∵ 点 H 与点 G 关于点 Q(2,32) 对称，
∴H(12 ， −12) ；
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ，
则 72k+b=72b=3 ，解得 k=17b=3 ，
∴y=17x+3 ；
设直线 AC′ 的解析式为 y=mx+n ，
则 12m+n=−12n=3 ，解得 m=−7n=3 ，
∴y=−7x+3 ，
综上所述，直线 AC 的解析式为 y=17x+3 或 y=−7x+3
（3）解：存在，如图3，平行四边形 AMBN 以 AB 为对角线，
延长 ED 交 y 轴于点 R ，设 OD=r ，
由折叠得， ∠AED=∠AOD=90° ， ED=OD ，
∴ED=r ， ED⊥AB ；
∵AB=32+42=5 ， AE=AO=3 ，
∴BE=5−3=2 ，
∵SΔAOB=12×3×4=6 ，且 SΔAOD+SΔABD=SΔAOB ，
∴12×3r+12×5r=6 ，
解得 r=32 ，
∴ED=OD=32 ，
∴D(32 ， 0) ；
∵∠DOR=∠DEB=90° ， ∠ODR=∠EDB ，
∴ΔODR≅ΔEDB(ASA) ，
∴RO=BE=2 ，
∴R(0,−2) ，
设直线 DE 的解析式为 y=px−2 ，
则 32p−2=0 ，解得 p=43 ，
∴y=43x−2 ；
∵ 点 N 在 x 轴上，且 AM//BN ，
∴AM//x 轴，
∴ 点 M 与点 A 的纵坐标相等，都等于3，
当 y=3 时，由 43x−2=3 ，得 x=154 ，
∴M(154 ， 3) ，
∵BN=AM=154 ，
∴ON=4−154=14 ，
∴N(14 ， 0) ；
如图4，平行四边形 ABNM 以 AB 为一边，则 AM//x 轴，且 AM=BN=154 .
∵ON=4+154=314 ，
∴N(314 ， 0) ，
综上所述，点 N 的坐标为 (14 ， 0) 或 (314 ， 0)
13．【答案】（1）解：由 y=−32x−23 得：
当 x=0 时， y=−23 ，
∴C(0,−23) ，
当 y=0 时， x=−4 ，
∴A(−4,0) ，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）得：
2k+b=0b=−23 ，
解得：
k=3b=−23 .
∴直线BC的解析式为y= 3x−23
（2）解：由（1）可知 A(−4,0) ， C(0,−23) ，已知 B(2,0) ，
∴AB=6,OC=23 ，
∵S△ABC＝12⋅AB⋅OC=12×6×23=63 ，
设P（ m,−32m−23 ）（-4＜m＜0），
当 S△ABP:S△BPC＝1:2 时，即 S△ABP＝13S△ABC ＝ 23 ，
∴12⋅6⋅32m+23＝23 ，
∴m= −83 ，
∴P1（−83，−233） ，
当 S△ABP:S△BPC＝2:1 时，即 S△ABP＝23S△ABC ＝ 43 ，
∴12⋅6⋅32m+23＝43 ，
∴m= −43 ，
∴P2（−43，−433） ，
∴P1(−83,−233),P2(−43,−433)
（3）解：以点B，C，P，E为顶点的四边形是以BC为一边的平行四边形，
设 P(m,−32m−23) ，
①如图，当 E 在 y 的正半轴上时， C 也在 y 轴上
设对角线 PB,CE 的交点为 Q ，则点 Q 在 y 轴上，
∵ 四边形 PEBC 是平行四边形，
∴PQ=BQ ，
∵B(2,0) ，
12(m+2)=0 ，
解得 m=−2 ，
代入 P(m,−32m−23) ，
即 −32m−23=−3 ，
∴P1(−2，−3)；
②如图，当 E 在 y 的负半轴上时， BP=CE ， BP//y 轴，
∵B(2,0) ，
∴m=2 ，
−32m−23=−33 ，
∴P2(2，−33) ，
③如图，当 E 在 x 的负半轴上， EB 为对角线， PA=CA ，
∵A(−4,0) ， P(m,−32m−23) ， C(0,−23)
∴12(m+0)=−4
解得: m=−8 ，
∴−32m−23=23 ，
∴P3(−8，23)；
综上所述： P1(−2，−3)，P2(2，−33)，P3(−8，23)
14．【答案】（1）解：设直线l函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可得： b=34k+b=0 ，
解得： k=−34b=3 ，
∴直线l函数解析式为 y=−34x+3
（2）解： ∵ 点 P 在直线 y=−34x+3 上
∴ 点 P 的坐标为 (x,−34x+3)
∵S△POC＝ 12OC×yP ，
∴S△POC＝ 12 ×3×（－ 34 x+3）＝－ 98 x+ 92 （0＜x＜4）
（3）解：存在，理由如下：
当S＝ 94 时，则 94 ＝﹣ 98 x+ 92 ，
∴x＝2，
∴点P（2， 32 ），
∵以A、C、P、Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形，
∴AC // PQ，AC=PQ
∵A（4，0），C（3，0），
∴PQ=AC=4－3=1，
∵P（2， 32 ）
∴点Q（3， 32 ）或（1， 32 ）
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为 ▱ABCD ，
∴BC//AD ，
∴∠DAB+∠ABC=180° ，
∵∠ABC=60° ，
∴∠DAB=180°−∠ABC=120° .
∵AF 平分 ∠DAB ，
∴∠FAB=12∠DAB=60° ，
∴∠FAB=∠ABF=60° ，
∴△ABF 是等边三角形
（2）解：在 ▱ABCD 中， AB//CD ， BC=AD=1 ， CD=AB=3 ，
∴∠DCF=∠ABF=60° ，
在等边 △ABF 中， BF=AB=3 ，
∴CF=BF−BC=2 ，
∵FG⊥EC ，
∴∠FGC=90°，
在 Rt△FGC 中， ∠GFC=90°−∠GCF=90°−60°=30° ，
∴CG=12CF=1 .
由勾股定理 FG=CF2−CG2=22−12=3 ，
∴DG=CD−GC=2 ，
∴在Rt△DGF中，由勾股定理，
DF=DG2+FG2=22+(3)2=7
16．【答案】（1）解： ∵OA=2 ， OB=1 ，直线 AB 分别交 x 轴 y 轴正半轴于 A 、 B 两点，
∴AB=OA2+OB2=22+12=5 ， A(2,0) ， B(0,1) ；
∵AB:BC=1:5 ，点 C 在 y 轴负半轴上，
∴BC=5 ， C(0,−4) ，
设直线 AC 的函数解析式为： y=kx+b ，将点 A(2,0) ， C(0,−4) 代入得，
2k+b=00+b=−4 ，解得 k=2b=−4 ，
∴ 直线 AC 的函数解析式为： y=2x−4
（2）解：∵OA=2，OC=4，
∴AC= OA2+OC2 = 25 ，
∵AB2+AC2=5+20=25=BC2 ，
∴∠BAC=90°，
根据题意得：CP=2t，AP= 25−2t ，
∴S= 12AP⋅AB=12(25−2t)×5=−5t+5(0≤t≤5)
（3）解：存在.
设直线 BA 的解析式为： y=kx+b ，将 A(2,0) 、 B(0,1) 代入得，
2k+b=00+b=1 ，解得 k=−12b=1 ，
所以直线 BA 的解析式为： y=−12x+1 ，
①当 OC 为平行四边形 OCPQ 的边时， OC//QP ，且 OC=QP ，
设点 P(a,2a−4) ， Q(a,−12a+1) ，
∵OC=4 ， P 是直线 AC 上的一动点， Q 是直线 AB 上的一动点，
∴2a−4−(−12a+1)=4 或 −12a+1−(2a−4)=4 ，
∴a1=185 或 a2=25 ，
∴P1(185 ， 165) ， P2(25 ， −165) ，
②当 OC 为平行四边形 OCPQ 的对角线时， OC 的中点坐标为 (0,−2) ，
设点 P(a,2a−4) ， Q(b,−12b+1) ，
∴12(a+b)=012(2a−4−12b+1)=−2 ，解得 a=25b=−25 ，
∴P3(25 ， −165) ，
综上所述， P 的坐标为 (185 ， 165) 或 (25 ， −165)
17．【答案】（1）解： ∵x 轴绕点 A 顺时针旋转 60° 交 y 轴于点 B ，
∴∠OAB=60° ，
∵ 点 A(1,0) ，
∴OA=1 ，
∴AB=2 ， OB=3 ，
∴B(0,3) ，
∵ 点 B 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到点 C ，
∴AC=AB=2 ， ∠BAC=90° ，
过 C 点作 CG⊥x 轴于 G 点，
∴∠CAG=30° ，
∴CG=1 ， AG=3 ，
∴C(1+3 ， 1) ，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ，
则有 b=3(1+3)k+b=1 ，
解得 k=−2+3b=3 ，
∴y=(−2+3)x+3 ；
（2）解：设 Q(x,y) ，
∵ 四边形 ABCQ 为平行四边形，
∴AC 、 BQ 为平行四边形的对角线，
AC 的中点 (2+32 ， 12) ， BQ 的中点 (x2 ， y+32) ，
∴2+32=x2 ， 12=y+32 ，
∴x=2+3 ， y=1−3 ，
∴Q(2+3 ， 1−3) ；
（3）解： ∵M 在直线 BC 上， N 在 y 轴上，
设 M(t ， (−2+3)t+3) ， N(0,n) ，
①当 AC 、 MN 为平行四边形的对角线时，
AC 中点的横坐标为 2+32 ， MN 中点的横坐标为 t2 ，
∴2+32=t2 ，
∴t=2+3 ，
∴M(2+3 ， 3−1) ；
②当 AM 、 CN 为平行四边形的对角线时，
AM 中点的横坐标为 t+12 ， CN 中点的横坐标为 1+32 ，
∴t+12=1+32 ，
∴t=3 ，
∴M(3 ， 3−3) ；
③当 AN 、 CM 为平行四边形的对角线时，
AN 中点的横坐标为 12 ， CM 中点的横坐标为 1+3+t2 ，
∴12=1+3+t2 ，
∴t=−3 ，
∴M(−3 ， −3+33) ；
综上所述：点 M 的坐标为 (2+3 ， 3−1) 或 (3 ， 3−3) 或 (−3 ， −3+33) .
18．【答案】（1）证明：设AC与ME交于点F，如图，
，
在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，
∴MF为△ABC中位线，
∴F为AC中点，
∴AF=AC，
∵AM∥CE，
∴∠AMF=∠CEF，
∵∠AFM=∠CFE，
∴△AFM≌△CFE（AAS），
∴AM=CE，
∵AM∥CE，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AE∥CM，AE=CM，
∴AE=BM，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）解：延长BD交CE于点F，如图，
在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，
∴DM为△BFC中位线，
∴D为BF中点，
∴BD=DF，
∵AB∥DE，AM∥CE，
∴∠ABD=∠EDF，∠BDA=∠DFE，
∴△BDA≌△DFE（ASA），
∴AD=EF，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥DF，AE=DF，
∴AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（3）33
19．【答案】（1）解：把 A(2,0) 、 D(0,1) 代入 y=kx+b ，得：
2k+b=0b=1 ，解得： k=−12b=1 ，
∴直线解析式为 y=−12x+1 ；
（2）解：过点 B 作 BG⊥OA 于点 G ，
∵BC⊥y 轴， OC⊥OA ，
∴∠BGO=∠BCO=∠GOC=90° ，
∴四边形 OCBG 为矩形，
∴CB=OG
∵CB=1
∴OG=1 ，
又 OA=2 ，
∴AG=2−1=1 ， AB=5 ，
根据勾股定理 BG=5−1=2 ，
∴B（1,2）；
（3）解：∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴BM//x轴，且BM=ON，
根据（1），点B的坐标为（1，2），
∴- 12 x+1=2，
解得x=-2，
∴点M的坐标为（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①点N在点O的左边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（-3，0），
②点N在点O的右边时，ON=BM=3，
∴点N的坐标为（3，0），
③作N（-3，0）关于A对称的点N′，则N′也符合，
点N′的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（7，0）．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE= 12 OB，DF= 12 OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
（2）解：①解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形；
②解：过点C作CH⊥AD于点H，连接CE，
则 CH2 = PC2−PH2=CD2−DH2 ,
∵AP=2DP=8，
∴DP=4， AD=AP+DP=12 ，
设 DH=x ，则 PH=PD−DH=4−x ，
∴(17)2−(4−x)2=52−x2 ，
解得： x =3，即 DH=3 ，
∴CH= CD2−DH2= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCD=S△ACD=12AD×CH=12×12×4=24 ，
∵点E，F分别为OB， OD的中点，
∴EF =12 BD，
∴S△ECF=12S△BCD ，
∵四边形EGCF是平行四边形，
∴S四边形EGCF=2S△ECF=2×12S△BCD=24 ．
故四边形EGCF的面积为24．
21．【答案】（1）BE=CF
（2）解：如图3, BF=CE, BF//CE,
理由如下:
∵△ABC≌△DEF,
∴∠BAC=∠EDF, AC=DF, AB=DE,
∴∠BAF=∠EDC, AF=DC
在 △ABF和 △DEC中
AF=DC∠BAF=∠EDCAB=DE
∴△ABF≌△DEC(SAS),
∴BF=CE, ∠AFB=∠DCE,
∴BF//CE;
（3）解：答案不唯一,符合题意即可．
如图,把 AC和 FD 重合,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠CAE , ∠CAB=∠ECA,
∴AE//BC, AB//CE,
∴四边形 ABCE是平行四边形;
如图,把 BC和 EF 重合,连接 AD ,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEB=∠BCD , ∠CED=∠ACB
∴AE//CD, AC//BD,
∴四边形 ABDC是平行四边形,
∵△ABC和 △DEF都是等腰三角形,
∴AB=AC , DE=DF ,
∴AD⊥BC．
结论:
如图1, AE//BC;或 AB//CE;或四边形 ABCE是平行四边形等;
如图2, AE//CD;或 AC//BD;或四边形 ABDC是平行四边形; AD⊥BC等．
22．【答案】（1）解：如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AE=CE ，AD=BD
在 △ADE 和 △CFE 中
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF
∴△ADE≌△CFE（SAS）
∴∠A=∠ECF，AD=CF
∴CF∥AB
又∵AD=BD
∴CF=BD
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF=BC，DE∥BC
∵EF=DE
∴DE= 12 DF= 12 BC
∴DE∥BC，DE= 12 BC
（2）解：①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M
∵AD∥BC
∴∠DAF=∠M
∵F分别是CD的中点
∴DF=FC
∵∠AFD=∠MFC
∴△ADF≌△MCF(AAS)
∴CM=AD
∴BM=AD+BC
∵E、F分别是AB、CD的中点
∴EF∥BC，FE= 12 BM
∴EF∥BC，FE= 12 （AD+BC）
②解：连接DM
∵点E，F分别为MN，DN的中点
∴由（1）知EF= 12 DM
∴DM最大时，EF最大
∵M与B重合时DM最大
∴DM=DB= AD2+AB2 =6
∴EF的最大值为3.
23．【答案】（1）40°
（2）12α+12β−90°
（3）解：若AG∥BH，则α+β=180°.理由如下：
若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE.
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；
（4）解：
90°−12α−12β
24．【答案】（1）解：①125°
②∵AE 平分 ∠BAD
∴∠DAE=12∠BAD
∵DO 平分 ∠ADC
∵∠ADO=12ADC
∴∠DAE+∠ADO=12∠BAD+12ADC
=12(∠BAD+∠ADC)
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°
∴∠BAD+∠ADC=360°−∠B−∠C
∴∠DAE+∠ADO=12(360°−∠B−∠C)
=180°−12∠B−12∠C
∴∠AOD=180°−(∠DAE+∠ADO)
=12∠B+12∠C
∴∠DOE=180°−∠AOD
=180°−12∠B−12∠C .
（2）∠DOE=12∠B+12∠C
25．【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）
=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=168°，
∴∠MBC+∠NDC=168°
（2）解：β-α=70°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= 12 ∠MBC，∠CDG= 12 ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= 12 ∠MBC+ 12 ∠NDC= 12 （∠MBC+∠NDC）= 12 （α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠DBC=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD=35°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，
∴12 （α+β）+180°-β+35°=180°，
∴β-α=70°
（3）解：平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE= 12 ∠MBC，∠CDH= 12 ∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH= 12 ∠MBC+ 12 ∠NDC= 12 （∠MBC+∠NDC）= 12 （α+β），
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴∠CBE+β-∠DHB= 12 （α+β），
∵α=β，
∴∠CBE+β-∠DHB= 12 （β+β）=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．