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2021-2022学年河南省柘城县张桥乡联合中学中考三模数学试题含解析
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这是一份2021-2022学年河南省柘城县张桥乡联合中学中考三模数学试题含解析,共21页。试卷主要包含了分式方程的解为等内容,欢迎下载使用。
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的中位数为( )
A.5B.6C.7D.9
2.某一公司共有51名员工(包括经理),经理的工资高于其他员工的工资,今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元,而其他员工的工资同去年一样,这样,这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会( )
A.平均数和中位数不变B.平均数增加,中位数不变
C.平均数不变,中位数增加D.平均数和中位数都增大
3.一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
4.下列运算正确的是( )
A.2a﹣a=1 B.2a+b=2ab C.(a4)3=a7 D.(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=120°,∠C=80°.将△BMN沿着MN翻折,得到△FMN.若MF∥AD,FN∥DC,则∠F的度数为( )
A.70°B.80°C.90°D.100°
6.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x–h)2+k(a<0)的图象可能是
A.B.
C.D.
7.如图,为等边三角形,要在外部取一点,使得和全等,下面是两名同学做法:( )
甲:①作的角平分线;②以为圆心,长为半径画弧,交于点,点即为所求;
乙:①过点作平行于的直线;②过点作平行于的直线,交于点,点即为所求.
A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
8.若分式 有意义,则x的取值范围是
A.x>1B.x<1C.x≠1D.x≠0
9.分式方程的解为( )
A.x=-2B.x=-3C.x=2D.x=3
10.某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长D.三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的最小值是﹣3,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,则c的最大值是_____.
12.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞,如图给出了一种机翼的示意图,用含有m、n的式子表示AB的长为______.
13.反比例函数y=与正比例函数y=k2x的图象的一个交点为(2,m),则=____.
14.如图,矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上,点B的坐标为B(),D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么k的值是_______
15.一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为- 1,则另一个根为 .
16.二次根式中,x的取值范围是 .
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)如图,在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中(每个小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点都在格点上,且直线m、n互相垂直.
(1)画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′;
(2)直线m上存在一点P,使△APB的周长最小;
①在直线m上作出该点P;(保留画图痕迹)
②△APB的周长的最小值为 .(直接写出结果)
18.(8分)某学校为了解学生的课余活动情况,抽样调查了部分学生,将所得数据处理后,制成折线统计图(部分)和扇形统计图(部分)如图:
(1)在这次研究中,一共调查了 学生,并请补全折线统计图;
(2)该校共有2200名学生,估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人?
19.(8分)如图1,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,点P为DC上一点,且AP=AB,过点C作CE⊥BP交直线BP于E.
(1) 若,求证:;
(2) 若AB=BC.
① 如图2,当点P与E重合时,求的值;
② 如图3,设∠DAP的平分线AF交直线BP于F,当CE=1,时,直接写出线段AF的长.
20.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看次的人数没有标出).
根据上述信息,解答下列各题:
×
(1)该班级女生人数是__________,女生收看“两会”新闻次数的中位数是________;
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低,试求该班级男生人数;
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如表).
根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
21.(8分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E,垂足为点F.
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BE=4,∠E=30°,求由、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,
(3)若⊙O的半径r=5,sinA=,求线段EF的长.
22.(10分)如图,AD是△ABC的中线,CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD的延长线于点E,求证:AF+AE=2AD.
23.(12分)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示.
(1)求线段AB的表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求乙的步行速度;
(3)求乙比甲早几分钟到达终点?
24.如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(2)若⊙O半径为2,TC=,求AD的长.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、B
【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值,再利用中位数的定义求出答案.
【详解】
∵一组数据1,7,x,9,5的平均数是2x,
∴,
解得:,
则从大到小排列为:3,5,1,7,9,
故这组数据的中位数为:1.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了中位数以及平均数,正确得出x的值是解题关键.
2、B
【解析】
本题考查统计的有关知识,找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
【详解】
解:设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元,则这家公司所有员工去年工资的平均数是元,今年工资的平均数是元,显然
;
由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化,所以中位数不变.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平均数,中位数的概念,要掌握这些基本概念才能熟练解题.同时注意到个别数据对平均数的影响较大,而对中位数和众数没影响.
3、B
【解析】
当k>0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限,反比例函数y=的图象在一、三象限,∴A、C不符合题意,B符合题意;当k<0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限,反比例函数y=的图象在二、四象限,∴D不符合题意.
故选B.
4、D
【解析】【分析】根据合并同类项,幂的乘方,同底数幂的乘法的计算法则解答.
【详解】A、2a﹣a=a,故本选项错误;
B、2a与b不是同类项,不能合并,故本选项错误;
C、(a4)3=a12,故本选项错误;
D、(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5,故本选项正确,
故选D.
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
5、B
【解析】
首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°,∠FNB=80°,再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°,∠FNM=∠MNB=40°,进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数.
【详解】
∵MF∥AD,FN∥DC,∠A=120°,∠C=80°,
∴∠BMF=120°,∠FNB=80°,
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN,
∴∠FMN=∠BMN=60°,∠FNM=∠MNB=40°,
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°,
故选B.
【点睛】
主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质,得出∠FMN=∠BMN,∠FNM=∠MNB是解题关键.
6、B
【解析】
根据题目给出的二次函数的表达式,可知二次函数的开口向下,即可得出答案.
【详解】
二次函数y=a(x﹣h)2+k(a<0)
二次函数开口向下.即B成立.
故答案选:B.
【点睛】
本题考查的是简单运用二次函数性质,解题的关键是熟练掌握二次函数性质.
7、A
【解析】
根据题意先画出相应的图形,然后进行推理论证即可得出结论.
【详解】
甲的作法如图一:
∵为等边三角形,AD是的角平分线
∴
由甲的作法可知,
在和中,
故甲的作法正确;
乙的作法如图二:
在和中,
故乙的作法正确;
故选:A.
【点睛】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
8、C
【解析】
分式分母不为0,所以,解得.
故选:C.
9、B
【解析】
解:去分母得:2x=x﹣3,解得:x=﹣3,经检验x=﹣3是分式方程的解.故选B.
10、D
【解析】
试题分析:
解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,
乙所用铁丝的长度为:2a+2b,
丙所用铁丝的长度为:2a+2b,
故三种方案所用铁丝一样长.
故选D.
考点:生活中的平移现象
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、3
【解析】
由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,可得y=ax2+bx(a≠0)和y=-c有交点,由此即可解答.
【详解】
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,
∴抛物线y=ax2+bx(a≠0)和直线y=-c有交点,
∴-c≥-3,即c≤3,
∴c的最大值为3.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程与二次函数,根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx(a≠0)和直线y=-c有交点是解决问题的关键.
12、
【解析】
过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长.
【详解】
解:延长BA交CE于点E,设CF⊥BF于点F,如图所示.
在Rt△BDF中,BF=n,∠DBF=30°,
∴.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,
∴AE=CE=BF=n,
∴.
故答案为:.
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.
13、4
【解析】
利用交点(2,m)同时满足在正比例函数和反比例函数上,分别得出m和、的关系.
【详解】
把点(2,m)代入反比例函数和正比例函数中得,,,则.
【点睛】
本题主要考查了函数的交点问题和待定系数法,熟练掌握待定系数法是本题的解题关键.
14、-12
【解析】
过E点作EF⊥OC于F,如图所示:
由条件可知:OE=OA=5,,
所以EF=3,OF=4,
则E点坐标为(-4,3)
设反比例函数的解析式是y=,
则有k=-4×3=-12.
故答案是:-12.
15、-1.
【解析】
因为一元二次方程的常数项是已知的,可直接利用两根之积的等式求解.
【详解】
∵一元二次方程x2+mx+1=0的一个根为-1,设另一根为x1,
由根与系数关系:-1•x1=1,
解得x1=-1.
故答案为-1.
16、.
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)详见解析;(2)①详见解析;②.
【解析】
(1)根据轴对称的性质,可作出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′;
(2)①作点B关于直线m的对称点B'',连接B''A与x轴的交点为点P;
②由△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P,则当AP与PB''共线时,△APB的周长有最小值.
【详解】
解:(1)如图△A′B′C′为所求图形.
(2)①如图:点P为所求点.
②∵△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P
∴当AP与PB''共线时,△APB的周长有最小值.
∴△APB的周长的最小值AB+AB''=+3
故答案为 +3
【点睛】
本题考查轴对称变换,勾股定理,最短路径问题,解题关键是熟练掌握轴对称的性质.
18、(1)200名;折线图见解析;(2)1210人.
【解析】
(1)由“其他”的人数和所占百分数,求出全部调查人数;先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数,进一步求出阅读的人数,补全折线统计图;
(2)利用样本估计总体的方法计算即可解答.
【详解】
(1)调查学生总人数为40÷20%=200(人),体育人数为:200×30%=60(人),阅读人数为:200﹣(60+30+20+40)=200﹣150=50(人).
补全折线统计图如下:
.
(2)2200×=1210(人).
答:估计该校学生中爱好阅读和爱好体育的人数大约是1210人.
【点睛】
本题考查了统计知识的应用,试题以图表为载体,要求学生能从中提取信息来解题,与实际生活息息相关,符合新课标的理念.
19、(1)证明见解析;(2)①;②3.
【解析】
(1) 过点A作AF⊥BP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP,易证Rt△ABF∽Rt△BCE,根据相似三角形的性质得到,即可证明BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F,过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP,根据全等三角形的性质得BG=CP,设BG=1,则PG=PC=1,BC=AB=,在Rt△ABF中,由射影定理知,AB2=BG·BF=5,即可求出BF=5,PF=5-1-1=3,即可求出的值;
② 延长BF、AD交于点G,过点A作AH⊥BE于H,证明△ABH≌△BCE,根据全等三角形的性质得BG=CP,设BH=BP=CE=1,又,得到PG=,BG=,根据射影定理得到AB2=BH·BG ,即可求出AB= ,根据勾股定理得到
,根据等腰直角三角形的性质得到.
【详解】
解:(1) 过点A作AF⊥BP于F
∵AB=AP
∴BF=BP,
∵Rt△ABF∽Rt△BCE
∴
∴BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F,过点A作AG⊥BP于G
∵AB=BC
∴△ABG≌△BCP(AAS)
∴BG=CP
设BG=1,则PG=PC=1
∴BC=AB=
在Rt△ABF中,由射影定理知,AB2=BG·BF=5
∴BF=5,PF=5-1-1=3
∴
② 延长BF、AD交于点G,过点A作AH⊥BE于H
∵AB=BC
∴△ABH≌△BCE(AAS)
设BH=BP=CE=1
∵
∴PG=,BG=
∵AB2=BH·BG
∴AB=
∴
∵AF平分∠PAD,AH平分∠BAP
∴∠FAH=∠BAD=45°
∴△AFH为等腰直角三角形
∴
【点睛】
考查等腰三角形的性质,勾股定理,射影定理,平行线分线段成比例定理等,解题的关键是作出辅助线.难度较大.
20、(1)20,1;(2)2人;(1)男生比女生的波动幅度大.
【解析】
(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数,中位数为第10与11名同学的次数的平均数.
(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”,即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”,再列方程解答即可.
(1)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小,需要求出女生的方差.
【详解】
(1)该班级女生人数是2+5+6+5+2=20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是1.
故答案为20,1.
(2)由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为=65%,所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人,则=60%,解得:x=2.
答:该班级男生有2人.
(1)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为=1,女生收看“两会”新闻次数的方差为:=.
∵2>,∴男生比女生的波动幅度大.
【点睛】
本题考查了平均数,中位数,方差的意义.解题的关键是明确平均数表示一组数据的平均程度,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
21、(1)见解析 (2)8(3)
【解析】
分析:(1)连接BD、OD,由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD,根据AO=OB知OD是△ABC的中位线,据此知OD∥BC,结合DE⊥BC即可得证;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,在Rt△ODE中由sinE=求得x的值,再根据S阴影=S△ODE-S扇形ODB计算可得答案.
(3)先证Rt△DFB∽Rt△DCB得,据此求得BF的长,再证△EFB∽△EDO得,据此求得EB的长,继而由勾股定理可得答案.
详解:(1)如图,连接BD、OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
∵BA=BC,
∴AD=CD,
又∵AO=OB,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,
在Rt△ODE中,OE=4+x,∠E=30°,
∴,
解得:x=4,
∴DE=4,S△ODE=×4×4=8,
S扇形ODB=,
则S阴影=S△ODE-S扇形ODB=8-;
(3)在Rt△ABD中,BD=ABsinA=10×=2,
∵DE⊥BC,
∴Rt△DFB∽Rt△DCB,
∴,即,
∴BF=2,
∵OD∥BC,
∴△EFB∽△EDO,
∴,即,
∴EB=,
∴EF=.
点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、中位线定理、三角函数的应用及相似三角形的判定与性质等知识点.
22、证明见解析.
【解析】
由题意易用角角边证明△BDE≌△CDF,得到DF=DE,再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长.
【详解】
证明:∵CF⊥AD于,BE⊥AD,
∴BE∥CF,∠EBD=∠FCD,
又∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴在△BED与△CFD中,
,
∴△△BED≌△CFD(AAS)
∴ED=FD,
又∵AD=AF+DF①,
AD=AE-DE②,
由①+②得:AF+AE=2AD.
【点睛】
该题考察了三角形全等的证明,利用全等三角形的性质进行对应边的转化.
23、(1);(2)80米/分;(3)6分钟
【解析】
(1)根据图示,设线段AB的表达式为:y=kx+b,把把(4,240),(16,0)代入得到关于k,b的二元一次方程组,解之,即可得到答案,
(2)根据线段OA,求出甲的速度,根据图示可知:乙在点B处追上甲,根据速度=路程÷时间,计算求值即可,
(3)根据图示,求出二者相遇时与出发点的距离,进而求出与终点的距离,结合(2)的结果,分别计算出相遇后,到达终点甲和乙所用的时间,二者的时间差即可所求答案.
【详解】
(1)根据题意得:
设线段AB的表达式为:y=kx+b (4≤x≤16),
把(4,240),(16,0)代入得:
,
解得:,
即线段AB的表达式为:y= -20x+320 (4≤x≤16),
(2)又线段OA可知:甲的速度为:=60(米/分),
乙的步行速度为:=80(米/分),
答:乙的步行速度为80米/分,
(3)在B处甲乙相遇时,与出发点的距离为:240+(16-4)×60=960(米),
与终点的距离为:2400-960=1440(米),
相遇后,到达终点甲所用的时间为:=24(分),
相遇后,到达终点乙所用的时间为:=18(分),
24-18=6(分),
答:乙比甲早6分钟到达终点.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,正确掌握分析函数图象是解题的关键.
24、(2)65°;(2)2.
【解析】
试题分析:(2)连接OT,根据角平分线的性质,以及直角三角形的两个锐角互余,证得CT⊥OT,CT为⊙O的切线;
(2)证明四边形OTCE为矩形,求得OE的长,在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解.
试题解析:(2)连接OT,∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA,又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC,又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT,∴CT为⊙O的切线;
(2)过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四边形OTCE为矩形,∵CT=,∴OE=,又∵OA=2,∴在Rt△OAE中,AE=,∴AD=2AE=2.
考点:2.切线的判定与性质;2.勾股定理;3.圆周角定理.
统计量
平均数(次)
中位数(次)
众数(次)
方差
…
该班级男生
…
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的中位数为( )
A.5B.6C.7D.9
2.某一公司共有51名员工(包括经理),经理的工资高于其他员工的工资,今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元,而其他员工的工资同去年一样,这样,这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会( )
A.平均数和中位数不变B.平均数增加,中位数不变
C.平均数不变,中位数增加D.平均数和中位数都增大
3.一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
4.下列运算正确的是( )
A.2a﹣a=1 B.2a+b=2ab C.(a4)3=a7 D.(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=120°,∠C=80°.将△BMN沿着MN翻折,得到△FMN.若MF∥AD,FN∥DC,则∠F的度数为( )
A.70°B.80°C.90°D.100°
6.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x–h)2+k(a<0)的图象可能是
A.B.
C.D.
7.如图,为等边三角形,要在外部取一点,使得和全等,下面是两名同学做法:( )
甲:①作的角平分线;②以为圆心,长为半径画弧,交于点,点即为所求;
乙:①过点作平行于的直线;②过点作平行于的直线,交于点,点即为所求.
A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
8.若分式 有意义,则x的取值范围是
A.x>1B.x<1C.x≠1D.x≠0
9.分式方程的解为( )
A.x=-2B.x=-3C.x=2D.x=3
10.某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长D.三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的最小值是﹣3,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,则c的最大值是_____.
12.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞,如图给出了一种机翼的示意图,用含有m、n的式子表示AB的长为______.
13.反比例函数y=与正比例函数y=k2x的图象的一个交点为(2,m),则=____.
14.如图,矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上,点B的坐标为B(),D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么k的值是_______
15.一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为- 1,则另一个根为 .
16.二次根式中,x的取值范围是 .
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)如图,在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中(每个小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点都在格点上,且直线m、n互相垂直.
(1)画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′;
(2)直线m上存在一点P,使△APB的周长最小;
①在直线m上作出该点P;(保留画图痕迹)
②△APB的周长的最小值为 .(直接写出结果)
18.(8分)某学校为了解学生的课余活动情况,抽样调查了部分学生,将所得数据处理后,制成折线统计图(部分)和扇形统计图(部分)如图:
(1)在这次研究中,一共调查了 学生,并请补全折线统计图;
(2)该校共有2200名学生,估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人?
19.(8分)如图1,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,点P为DC上一点,且AP=AB,过点C作CE⊥BP交直线BP于E.
(1) 若,求证:;
(2) 若AB=BC.
① 如图2,当点P与E重合时,求的值;
② 如图3,设∠DAP的平分线AF交直线BP于F,当CE=1,时,直接写出线段AF的长.
20.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看次的人数没有标出).
根据上述信息,解答下列各题:
×
(1)该班级女生人数是__________,女生收看“两会”新闻次数的中位数是________;
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低,试求该班级男生人数;
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如表).
根据你所学过的统计知识,适当计算女生的有关统计量,进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.
21.(8分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E,垂足为点F.
(1)证明:DE是⊙O的切线;
(2)若BE=4,∠E=30°,求由、线段BE和线段DE所围成图形(阴影部分)的面积,
(3)若⊙O的半径r=5,sinA=,求线段EF的长.
22.(10分)如图,AD是△ABC的中线,CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD的延长线于点E,求证:AF+AE=2AD.
23.(12分)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示.
(1)求线段AB的表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求乙的步行速度;
(3)求乙比甲早几分钟到达终点?
24.如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过弧BD上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(2)若⊙O半径为2,TC=,求AD的长.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、B
【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值,再利用中位数的定义求出答案.
【详解】
∵一组数据1,7,x,9,5的平均数是2x,
∴,
解得:,
则从大到小排列为:3,5,1,7,9,
故这组数据的中位数为:1.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了中位数以及平均数,正确得出x的值是解题关键.
2、B
【解析】
本题考查统计的有关知识,找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
【详解】
解:设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元,则这家公司所有员工去年工资的平均数是元,今年工资的平均数是元,显然
;
由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化,所以中位数不变.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平均数,中位数的概念,要掌握这些基本概念才能熟练解题.同时注意到个别数据对平均数的影响较大,而对中位数和众数没影响.
3、B
【解析】
当k>0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限,反比例函数y=的图象在一、三象限,∴A、C不符合题意,B符合题意;当k<0时,一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限,反比例函数y=的图象在二、四象限,∴D不符合题意.
故选B.
4、D
【解析】【分析】根据合并同类项,幂的乘方,同底数幂的乘法的计算法则解答.
【详解】A、2a﹣a=a,故本选项错误;
B、2a与b不是同类项,不能合并,故本选项错误;
C、(a4)3=a12,故本选项错误;
D、(﹣a)2•(﹣a)3=﹣a5,故本选项正确,
故选D.
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
5、B
【解析】
首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°,∠FNB=80°,再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°,∠FNM=∠MNB=40°,进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数.
【详解】
∵MF∥AD,FN∥DC,∠A=120°,∠C=80°,
∴∠BMF=120°,∠FNB=80°,
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN,
∴∠FMN=∠BMN=60°,∠FNM=∠MNB=40°,
∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°,
故选B.
【点睛】
主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质,得出∠FMN=∠BMN,∠FNM=∠MNB是解题关键.
6、B
【解析】
根据题目给出的二次函数的表达式,可知二次函数的开口向下,即可得出答案.
【详解】
二次函数y=a(x﹣h)2+k(a<0)
二次函数开口向下.即B成立.
故答案选:B.
【点睛】
本题考查的是简单运用二次函数性质,解题的关键是熟练掌握二次函数性质.
7、A
【解析】
根据题意先画出相应的图形,然后进行推理论证即可得出结论.
【详解】
甲的作法如图一:
∵为等边三角形,AD是的角平分线
∴
由甲的作法可知,
在和中,
故甲的作法正确;
乙的作法如图二:
在和中,
故乙的作法正确;
故选:A.
【点睛】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
8、C
【解析】
分式分母不为0,所以,解得.
故选:C.
9、B
【解析】
解:去分母得:2x=x﹣3,解得:x=﹣3,经检验x=﹣3是分式方程的解.故选B.
10、D
【解析】
试题分析:
解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,
乙所用铁丝的长度为:2a+2b,
丙所用铁丝的长度为:2a+2b,
故三种方案所用铁丝一样长.
故选D.
考点:生活中的平移现象
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、3
【解析】
由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,可得y=ax2+bx(a≠0)和y=-c有交点,由此即可解答.
【详解】
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,
∴抛物线y=ax2+bx(a≠0)和直线y=-c有交点,
∴-c≥-3,即c≤3,
∴c的最大值为3.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查了一元二次方程与二次函数,根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx(a≠0)和直线y=-c有交点是解决问题的关键.
12、
【解析】
过点C作CE⊥CF延长BA交CE于点E,先求得DF的长,可得到AE的长,最后可求得AB的长.
【详解】
解:延长BA交CE于点E,设CF⊥BF于点F,如图所示.
在Rt△BDF中,BF=n,∠DBF=30°,
∴.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,
∴AE=CE=BF=n,
∴.
故答案为:.
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用,解题的关键在于做辅助线.
13、4
【解析】
利用交点(2,m)同时满足在正比例函数和反比例函数上,分别得出m和、的关系.
【详解】
把点(2,m)代入反比例函数和正比例函数中得,,,则.
【点睛】
本题主要考查了函数的交点问题和待定系数法,熟练掌握待定系数法是本题的解题关键.
14、-12
【解析】
过E点作EF⊥OC于F,如图所示:
由条件可知:OE=OA=5,,
所以EF=3,OF=4,
则E点坐标为(-4,3)
设反比例函数的解析式是y=,
则有k=-4×3=-12.
故答案是:-12.
15、-1.
【解析】
因为一元二次方程的常数项是已知的,可直接利用两根之积的等式求解.
【详解】
∵一元二次方程x2+mx+1=0的一个根为-1,设另一根为x1,
由根与系数关系:-1•x1=1,
解得x1=-1.
故答案为-1.
16、.
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)详见解析;(2)①详见解析;②.
【解析】
(1)根据轴对称的性质,可作出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′;
(2)①作点B关于直线m的对称点B'',连接B''A与x轴的交点为点P;
②由△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P,则当AP与PB''共线时,△APB的周长有最小值.
【详解】
解:(1)如图△A′B′C′为所求图形.
(2)①如图:点P为所求点.
②∵△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P
∴当AP与PB''共线时,△APB的周长有最小值.
∴△APB的周长的最小值AB+AB''=+3
故答案为 +3
【点睛】
本题考查轴对称变换,勾股定理,最短路径问题,解题关键是熟练掌握轴对称的性质.
18、(1)200名;折线图见解析;(2)1210人.
【解析】
(1)由“其他”的人数和所占百分数,求出全部调查人数;先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数,进一步求出阅读的人数,补全折线统计图;
(2)利用样本估计总体的方法计算即可解答.
【详解】
(1)调查学生总人数为40÷20%=200(人),体育人数为:200×30%=60(人),阅读人数为:200﹣(60+30+20+40)=200﹣150=50(人).
补全折线统计图如下:
.
(2)2200×=1210(人).
答:估计该校学生中爱好阅读和爱好体育的人数大约是1210人.
【点睛】
本题考查了统计知识的应用,试题以图表为载体,要求学生能从中提取信息来解题,与实际生活息息相关,符合新课标的理念.
19、(1)证明见解析;(2)①;②3.
【解析】
(1) 过点A作AF⊥BP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP,易证Rt△ABF∽Rt△BCE,根据相似三角形的性质得到,即可证明BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F,过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP,根据全等三角形的性质得BG=CP,设BG=1,则PG=PC=1,BC=AB=,在Rt△ABF中,由射影定理知,AB2=BG·BF=5,即可求出BF=5,PF=5-1-1=3,即可求出的值;
② 延长BF、AD交于点G,过点A作AH⊥BE于H,证明△ABH≌△BCE,根据全等三角形的性质得BG=CP,设BH=BP=CE=1,又,得到PG=,BG=,根据射影定理得到AB2=BH·BG ,即可求出AB= ,根据勾股定理得到
,根据等腰直角三角形的性质得到.
【详解】
解:(1) 过点A作AF⊥BP于F
∵AB=AP
∴BF=BP,
∵Rt△ABF∽Rt△BCE
∴
∴BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F,过点A作AG⊥BP于G
∵AB=BC
∴△ABG≌△BCP(AAS)
∴BG=CP
设BG=1,则PG=PC=1
∴BC=AB=
在Rt△ABF中,由射影定理知,AB2=BG·BF=5
∴BF=5,PF=5-1-1=3
∴
② 延长BF、AD交于点G,过点A作AH⊥BE于H
∵AB=BC
∴△ABH≌△BCE(AAS)
设BH=BP=CE=1
∵
∴PG=,BG=
∵AB2=BH·BG
∴AB=
∴
∵AF平分∠PAD,AH平分∠BAP
∴∠FAH=∠BAD=45°
∴△AFH为等腰直角三角形
∴
【点睛】
考查等腰三角形的性质,勾股定理,射影定理,平行线分线段成比例定理等,解题的关键是作出辅助线.难度较大.
20、(1)20,1;(2)2人;(1)男生比女生的波动幅度大.
【解析】
(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数,中位数为第10与11名同学的次数的平均数.
(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”,即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”,再列方程解答即可.
(1)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小,需要求出女生的方差.
【详解】
(1)该班级女生人数是2+5+6+5+2=20,女生收看“两会”新闻次数的中位数是1.
故答案为20,1.
(2)由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为=65%,所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x人,则=60%,解得:x=2.
答:该班级男生有2人.
(1)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为=1,女生收看“两会”新闻次数的方差为:=.
∵2>,∴男生比女生的波动幅度大.
【点睛】
本题考查了平均数,中位数,方差的意义.解题的关键是明确平均数表示一组数据的平均程度,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
21、(1)见解析 (2)8(3)
【解析】
分析:(1)连接BD、OD,由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD,根据AO=OB知OD是△ABC的中位线,据此知OD∥BC,结合DE⊥BC即可得证;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,在Rt△ODE中由sinE=求得x的值,再根据S阴影=S△ODE-S扇形ODB计算可得答案.
(3)先证Rt△DFB∽Rt△DCB得,据此求得BF的长,再证△EFB∽△EDO得,据此求得EB的长,继而由勾股定理可得答案.
详解:(1)如图,连接BD、OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
∵BA=BC,
∴AD=CD,
又∵AO=OB,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x,则OB=OD=x,
在Rt△ODE中,OE=4+x,∠E=30°,
∴,
解得:x=4,
∴DE=4,S△ODE=×4×4=8,
S扇形ODB=,
则S阴影=S△ODE-S扇形ODB=8-;
(3)在Rt△ABD中,BD=ABsinA=10×=2,
∵DE⊥BC,
∴Rt△DFB∽Rt△DCB,
∴,即,
∴BF=2,
∵OD∥BC,
∴△EFB∽△EDO,
∴,即,
∴EB=,
∴EF=.
点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、中位线定理、三角函数的应用及相似三角形的判定与性质等知识点.
22、证明见解析.
【解析】
由题意易用角角边证明△BDE≌△CDF,得到DF=DE,再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长.
【详解】
证明:∵CF⊥AD于,BE⊥AD,
∴BE∥CF,∠EBD=∠FCD,
又∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴在△BED与△CFD中,
,
∴△△BED≌△CFD(AAS)
∴ED=FD,
又∵AD=AF+DF①,
AD=AE-DE②,
由①+②得:AF+AE=2AD.
【点睛】
该题考察了三角形全等的证明,利用全等三角形的性质进行对应边的转化.
23、(1);(2)80米/分;(3)6分钟
【解析】
(1)根据图示,设线段AB的表达式为:y=kx+b,把把(4,240),(16,0)代入得到关于k,b的二元一次方程组,解之,即可得到答案,
(2)根据线段OA,求出甲的速度,根据图示可知:乙在点B处追上甲,根据速度=路程÷时间,计算求值即可,
(3)根据图示,求出二者相遇时与出发点的距离,进而求出与终点的距离,结合(2)的结果,分别计算出相遇后,到达终点甲和乙所用的时间,二者的时间差即可所求答案.
【详解】
(1)根据题意得:
设线段AB的表达式为:y=kx+b (4≤x≤16),
把(4,240),(16,0)代入得:
,
解得:,
即线段AB的表达式为:y= -20x+320 (4≤x≤16),
(2)又线段OA可知:甲的速度为:=60(米/分),
乙的步行速度为:=80(米/分),
答:乙的步行速度为80米/分,
(3)在B处甲乙相遇时,与出发点的距离为:240+(16-4)×60=960(米),
与终点的距离为:2400-960=1440(米),
相遇后,到达终点甲所用的时间为:=24(分),
相遇后,到达终点乙所用的时间为:=18(分),
24-18=6(分),
答:乙比甲早6分钟到达终点.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,正确掌握分析函数图象是解题的关键.
24、(2)65°;(2)2.
【解析】
试题分析:(2)连接OT,根据角平分线的性质,以及直角三角形的两个锐角互余,证得CT⊥OT,CT为⊙O的切线;
(2)证明四边形OTCE为矩形,求得OE的长,在直角△OAE中,利用勾股定理即可求解.
试题解析:(2)连接OT,∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA,又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC,又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT,∴CT为⊙O的切线;
(2)过O作OE⊥AD于E,则E为AD中点,又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四边形OTCE为矩形,∵CT=,∴OE=,又∵OA=2,∴在Rt△OAE中,AE=,∴AD=2AE=2.
考点:2.切线的判定与性质;2.勾股定理;3.圆周角定理.
统计量
平均数(次)
中位数(次)
众数(次)
方差
…
该班级男生
…