《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》

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1.（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
2.（2019•达州）箭头四角形，模型规律，如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．
因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝ ．
③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝ 度．
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．
3.（2019•天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
4.（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
5．定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．
（1）如图（1），是中垂三角形，，分别是，边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形．
（2）如图（2），在中垂三角形中，，分别是边，上的中线，且于点，猜想，，之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图（3），四边形是菱形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接，并延长，交于点．
①求证：是中垂三角形；
②若，请直接写出的值．
6．（2020•长沙模拟）定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）①如图1，准矩形中，，若，，则 ；
②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是 ；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形；
（3）已知，准矩形中，，，，当为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是 ．
7．（2019秋•雨花区校级月考）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角，，，为上一点，当 2 时，与为偏等积三角形．
（2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度
（3）如图3，已知为直角三角形，，以，为边问外作正方形和正方形，连结，求证：与为偏等积三角形．
8．（2019•岳麓区校级三模）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”
（1）在“正方形”、“矩形”、“菱形”中，一定是“完美四边形”的是 ．
（2）如图1，在中，，，，为平面内一点，以、、、四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若，的长是关于的一元二次方程（其中为常数）的两个根，求线段的长度．
（3）如图2，在“完美四边形” 中，，，，求“完美四边形” 面积的最大值．
9．（2017•宁波）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
（2）如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，．求证：四边形是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求与的面积之比．
10.（2014•鞍山二模）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在中，，点在上，且，点、分别为、的中点，连接并延长交于点．求证：四边形是等邻角四边形；
（3）如图2，若点在的内部，（2）中的其他条件不变，与交于点，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．