2021-2022学年湖南省邵阳市双清区第十一中学中考四模数学试题含解析

这是一份2021-2022学年湖南省邵阳市双清区第十一中学中考四模数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了方程x2﹣3x＝0的根是，已知等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
2．方程的解是（ ）.
A． B． C． D．
3．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ∠1 等于( )

A． B． C． D．
4．方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．， D．，
5．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（　　）

A．8 B．﹣8 C．﹣12 D．12
6．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（　　）
A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3
7．已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB=．反比例函数y=在第一象限图象经过点A，与BC交于点F．S△AOF=，则k=（　　）

A．15 B．13 C．12 D．5
8．对于代数式ax2+bx+c(a≠0)，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则a+bx+c=a（x-p）（x-q）
②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c
③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c
④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c
A．③ B．①③ C．②④ D．①③④
9．已知点，为是反比例函数上一点，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(    )
A．15                               B．12                               C．9                        D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图所示是一组有规律的图案，第l个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n的式子表示）．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．

13．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是_____．

15．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为_____度．

16．已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件．甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．
（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？
18．（8分）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．
19．（8分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
(1)求证：∠DAC=∠DCE；
(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

20．（8分）已知：二次函数满足下列条件：①抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点；②对于任意实数x，a（-x+5）2+b（-x+5）=a（x-3）2+b（x-3）都成立．
（1）求二次函数y=ax2+bx的解析式；
（2）若当-2≤x≤r（r≠0）时，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值．
21．（8分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．
（1）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；
（3）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．
22．（10分）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，边结DE，OE、OD，求证：DE是⊙O的切线．

24．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF.MH
（2）若BC2＝BD．DM，求证：∠AMB＝∠ADC．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解析】
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】
设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
2、B
【解析】
直接解分式方程，注意要验根.
【详解】
解：=0，
方程两边同时乘以最简公分母x(x+1)，得：3(x+1)-7x=0,
解这个一元一次方程，得：x=，
经检验，x=是原方程的解.
故选B.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程不要忘记验根.
3、B
【解析】
解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B．

点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4、D
【解析】
先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
5、D
【解析】
根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．
【详解】
∵2×5﹣1×（﹣2）=1，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，∴y=0×3﹣6×（﹣2）=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．
6、D
【解析】
直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【详解】
y=x2﹣6x+21
=（x2﹣12x）+21
=[（x﹣6）2﹣16]+21
=（x﹣6）2+1，
故y=（x﹣6）2+1，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．
7、A
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值．
【详解】
过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．

设OA=a=OB，则，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM=a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵四边形OACB是菱形，S△AOF=，
∴OB×AM=，
即×a×a=39，
解得a=±，而a＞0，
∴a=，即A（，6），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=×6=1．
故选A．
【解答】
解：
【点评】
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用S△AOF=S菱形OBCA．
8、A
【解析】
设
（1）如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则说明在中，当x=p和x=q时的y值相等，但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标，故①中结论不一定成立；
（2）若am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c，则说明在中当x=m、n、s时，对应的y值相等，因此m、n、s中至少有两个数是相等的，故②错误；
（3）如果ac＜0，则b2-4ac>0，则的图象和x轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故③在结论正确；
（4）如果ac＞0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时的图象与x轴的交点情况无法确定，所以④中结论不一定成立.
综上所述，四种说法中正确的是③.
故选A.
9、A
【解析】
直接把n的值代入求出m的取值范围．
【详解】
解：∵点P（m，n），为是反比例函数y=-图象上一点，
∴当-1≤n＜-1时，
∴n=-1时，m=1，n=-1时，m=1，
则m的取值范围是：1≤m＜1．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确把n的值代入是解题关键．
10、A
【解析】
根据三角函数的定义直接求解.
【详解】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，
∵，
∴，
解得AB＝1．
故选A

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、3n+1
【解析】
试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个
考点：规律型
12、115°
【解析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13、
【解析】
解：将170000用科学记数法表示为：1.7×1．故答案为1.7×1．
14、4
【解析】
连接把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为的面积的2倍．
【详解】
解：连接OP、OB，

∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，
图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积−△BOP的面积，
又∵点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，
∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，
∴两部分面积之差的绝对值是
点睛：考查扇形面积和三角形的面积，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.
15、1
【解析】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′．又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°．又∵∠ABE=20°，∴∠DBC=1°．故答案为1．
点睛：本题考查了角的计算，根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
16、﹣3a
【解析】
根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【详解】
∵a＜0，
∴|﹣2a|＝|﹣a﹣2a|＝|﹣3a|＝﹣3a．
【点睛】
本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）；（2）选择乙印刷厂比较优惠．
【解析】
（1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费y甲（元）关于印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）分别将两厂的印刷费用等于2000元，分别解得两厂印刷的份数即可．
【详解】
（1）根据题意可知：
甲印刷厂的收费y甲=0.3x×0.9+100=0.27x+100，y关于x的函数关系式是y甲=0.27x+100（x＞0）；
（2）由题意可得：该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，在甲印刷厂需要花费：0.27×600+100=262（元），在乙印刷厂需要花费：100+200×0.3+0.3×0.8×（600﹣200）=256（元）．
∵256＜262，∴如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择乙印刷厂比较优惠．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
18、原式=
【解析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.
【详解】
原式=
=
=，
当a=1+，b=1﹣时，
原式==.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
19、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．
【详解】
解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．
∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．
又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵AB=2，∴AO=1．
∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．
∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．
解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．
20、（1）y=x2+x；（2）t=-4，r=-1.
【解析】
（1）由①联立方程组，根据抛物线y=ax2+bx与直线y=x只有一个交点可以求出b的值，由②可得对称轴为x=1，从而得a的值，进而得出结论；
（2）进行分类讨论，分别求出t和r的值.
【详解】
（1）y=ax2+bx和y=x联立得：ax2+(b+1)x=0，
Δ=0得：(b-1)2=0，得b=1，
∵对称轴为=1，
∴=1，
∴a=，
∴y=x2+x.
（2）因为y=x2+x=(x-1)2+,
所以顶点（1，）
当-2