2021-2022学年湖南省邵阳市武冈市第一中学中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．计算(1－)÷的结果是(     )

A．x－1 B． C． D．

2．如果y＝++3，那么yx的算术平方根是（    ）

A．2 B．3 C．9 D．±3

3．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab

4．比1小2的数是（ ）

A． B． C． D．

5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

6．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（   ）

A．         B．

C．      D．

8．在-，，0，－2这四个数中，最小的数是(   )

A． B． C．0 D．－2

9．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣2

10．一元二次方程3x2-6x+4=0根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．计算：3﹣（﹣2）=____．

12．在一个不透明的空袋子里放入3个白球和2个红球，每个球除颜色外完全相同，小乐从中任意摸出1个球，摸出的球是红球，放回后充分摇匀，又从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ____ ．

13．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是_______.

14．如图，直线 a∥b，直线 c 分别于 a，b 相交，∠1=50°，∠2=130°，则∠3 的度数为（    ）

A．50° B．80° C．100° D．130°

15．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加 __________条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．（填一个符合要求的条件即可）

16．函数y＝的自变量x的取值范围为____________．

17．2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为__．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．

（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．

19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E

求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．

21．（10分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度．

22．（10分）如图，ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：点F是AC的中点；

（2）若∠A=30°，AF=，求图中阴影部分的面积．

23．（12分）全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是         ；乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.

24．（14分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得．

【详解】

解：原式=（-）÷=•=，

故选B．

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

2、B

【解析】

解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=1，则yx=9，9的算术平方根是1．故选B．

3、B

【解析】
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．

【详解】

∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；

∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，

故选B．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．

4、C

【解析】

1-2=-1,故选C

5、A

【解析】
根据不等式组的解集在数轴上表示的方法即可解答.

【详解】

∵x≥﹣2，故以﹣2为实心端点向右画，x＜1，故以1为空心端点向左画．

故选A．

【点睛】

本题考查了不等式组解集的在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示方法为：＞、≥向右画，＜、≤向左画， “≤”、“≥”要用实心圆点表示；“<”、“>”要用空心圆点表示.

6、C

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中， ，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴ ，

∴AO2=OD•OP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OE•OP；故②错误；

在△CQF与△BPE中 ，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF与△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△AOP∽△DAP，

∴ ，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴ ，

∴QO=，OE=，

∴AO=5﹣QO=，

∴tan∠OAE==，故④正确，

故选C．

点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

7、D

【解析】

分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.

详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；

B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；

C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；

D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意;

故选D.

点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

8、D

【解析】
根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可.

【详解】

在﹣，，0，﹣1这四个数中，﹣1＜﹣＜0＜，

故最小的数为：﹣1．

故选D．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握实数的大小比较方法，特别是两个负数的大小比较.

9、C

【解析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【详解】

解：根据有理数比较大小的方法，可得

-2＜-1＜1＜1，

∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

10、D

【解析】
根据∆=b2-4ac，求出∆的值，然后根据∆的值与一元二次方程根的关系判断即可.

【详解】

∵a=3,b=-6,c=4,

∴∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0，

∴方程3x2-6x+4=0没有实数根.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2+2

【解析】
根据平面向量的加法法则计算即可．

【详解】

3﹣（﹣2）

=3﹣+2

=2+2，

故答案为：2+2，

【点睛】

本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法法则是解题的关键．

12、

【解析】

【分析】袋子中一共有5个球，其中有2个红球，用2除以5即可得从中摸出一个球是红球的概率.

【详解】袋子中有3个白球和2个红球，一共5个球，

所以从中任意摸出一个球是红球的概率为：，

故答案为.

【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.

13、4或1

【解析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．

【详解】

①如图：因为AC==2，

点A是斜边EF的中点，

所以EF=2AC=4，

②如图：

因为BD==5，

点D是斜边EF的中点，

所以EF=2BD=1，

综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是4或1，

故答案是：4或1．

【点睛】

此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．

14、B

【解析】
根据平行线的性质即可解决问题

【详解】

∵a∥b，

∴∠1+∠3=∠2，

∵∠1=50°，∠2=130°，

∴∠3=80°， 故选B．

【点睛】

考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考基础题．

15、BE=DF

【解析】

可以添加的条件有BE=DF等；证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；

又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴AE=CF，∠AEB=∠CFD.
∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF；

∴四边形AECF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为BE=DF．

16、x≥－1

【解析】

试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．

考点：函数自变量的取值范围．

17、3.308×1．

【解析】
正确用科学计数法表示即可.

【详解】

解：33080=3.308×1

【点睛】

科学记数法的表示形式为的形式, 其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时, 要看把原数变成a时, 小数点移动了多少位, n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于10时, n是正数; 当原数的绝对值小于1时,n是负数.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）20s；（2）

【解析】
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝840时x的值即可得；

（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：（1）∵该抛物线过点（0，0），

∴设抛物线解析式为y＝ax2+bx，

将（1，4）、（2，12）代入，得：

，

解得：，

所以抛物线的解析式为y＝2x2+2x，

当y＝840时，2x2+2x＝840，

解得：x＝20（负值舍去），

即他需要20s才能到达终点；       

（2）∵y＝2x2+2x＝2（x+）2﹣，

∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数解析式为y＝2（x+2+）2﹣﹣5＝2（x+）2﹣．

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及函数图象平移的规律．

19、（1）证明见解析；（2）BD＝2．

【解析】
（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．

【详解】

（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD平分BC，即DB＝DC，

∵OA＝OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙0的切线；

（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，

∴△DEC∽△ADB，

∴，

∴BD•CD＝AB•CE，

∵BD＝CD，

∴BD2＝AB•CE，

∵⊙O半径为3，CE＝2，

∴BD＝＝2．

【点睛】

本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．

20、（1）见解析（2）BD=2

【解析】

解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．

∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．

∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．

（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．

（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

21、木竿PQ的长度为3.35米．

【解析】
过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，根据矩形的性质 得出DP，DN的长，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长．

试题解析：

【详解】

解：过N点作ND⊥PQ于D，

则四边形DPMN为矩形，

∴DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，

∴，

∴QD＝＝2.25，

∴PQ＝QD＋DP＝ 2.25＋1.1＝3.35（m）．

答：木竿PQ的长度为3.35米．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键．

22、（1）见解析；（2）

【解析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；

（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．

【详解】

（1）证明：连接OD、CD，如图，

∵BC为直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴AC为⊙O的切线，

∵EF为⊙O的切线，

∴FD=FC，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠A，

∴FD=FA，

∴FC=FA，

∴点F是AC中点；

（2）解：在Rt△ACB中，AC=2AF=2，

而∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC=AC=2，

∵OB=OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD=60°，

∵EF为切线，

∴OD⊥EF，

在Rt△ODE中，DE=OD=，

∴S阴影部分=S△ODE﹣S扇形BOD=×1×﹣=﹣π．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．

23、（1）；（2）

【解析】
（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；

（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.

【详解】

解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率=.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

24、x=60

【解析】
设有x个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案.

【详解】

解：设有x个客人，则

解得：x=60；

∴有60个客人.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．