2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区景范中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区景范中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确是

A. 概率很小的事情不可能发生
B. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
C. 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
D. 从、、、、中任取一个数是偶数的可能性比较大

3. 下列事件为确定事件的是

A. 张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取一张，抽到号签
B. 抛掷枚质地均匀的硬币反面朝上
C. 篮球运动员投篮一次，命中篮筐
D. 长度分别是、、的三条线段能围成一个三角形

4. 已知反比例函数的图象分别位于一、三象限，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直

6. 如图，将绕着点顺时针旋转得到若点、、在同一条直线上．则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 函数为常数的图象上有三个点，，函数值，，的大小为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过原点，点为轴上一点，且的面积为，双曲线经过矩形的顶点、，连接，交双曲线于点，且，若平分，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 在一个不透明的盒子中，装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，随机从中任意摸出一个球记下颜色，把它放回盒中搅匀再次摸出，随着实验次数越来越大，摸到红球的频率逐渐稳定在左右，据此估计盒子中大约有白球______个．
10. 若菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是______．
11. 如图，在▱中，的平分线交于点，，，则______．
    
     

12. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为______．
13. 如图，在中，，、分别是、的中点，是上一点，连接、，若，，则______．
     

14. 如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，且轴，为轴上动点，连接、，则的面积是______．
     

15. 如图，菱形的两个顶点、在反比例函数的图象上，对角线轴，若，点的坐标为，则菱形的周长为______．

16. 如图，点是▱内的一点，连结、、、，再连结对角线，若，，那么______．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
    将向左平移个单位长度得到，请画出；
    画出关于点的中心对称图形；
    若将绕某一点旋转可得到那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______

18. 某中学为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机抽查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间单位：小时进行分组整理，并制成如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
    
    被抽样的学生总数有______人，并补全频数分布直方图；
    扇形统计图中的值为______，“组”对应的圆心角是______度；
    请估计该校名学生中每周的课外阅读时间不少于小时的人数．
19. 丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米小时汽车行驶速度不超过千米小时驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到、的一组对应值如下表：

根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为______千米；
求出平均速度千米小时关于行驶时间小时的函数表达式；
汽车上午：从丽水出发，能否在上午：之前到达杭州市场？请说明理由．

20. 如图，矩形的对角线、相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：≌；
    若，求出四边形的周长．
    
     

21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
    求一次函数和反比例函数表达式；
    请直接写出关于的不等式的解集；
    把点绕着点顺时针旋转，得到点，连接，，求的面积．

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点在第二象限内．
    求点的坐标；
    将以每秒个单位的速度沿轴向右运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使、的对应点、，恰好落在第一象限内的反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；
    在的情况下，问：是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 如图，点是正方形的边上一点，连接，并将绕点顺时针旋转，得到，过点作于点，于点．
    判断：四边形的形状为______；证明你的结论；
    如图，连接，交于，连接，若，，求正方形的边长；
    如图，连接，与、交于、两点，试探索、、之间的数量关系，并直接写出结论：______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：、概率很小的事情也可能发生，故A不符合题意；
B、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，故B不符合题意；
C、名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，故C符合题意；
D、从、、、、中任取一个数是奇数的可能性比较大，故D不符合题意；
故选：．
根据必然事件，不可能事件，随机事件，概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，概率的意义，熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、张相同的小标签分别标有数字，从中任意抽取一张，抽到号签，是随机事件，属于不确定事件，故A不符合题意；
B、抛掷枚质地均匀的硬币反面朝上，是随机事件，属于不确定事件，故B不符合题意；
C、篮球运动员投篮一次，命中篮筐，是随机事件，属于不确定事件，故C不符合题意；
D、长度分别是、、的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，属于确定事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象分别位于一、三象限，
，
解得：．
故选：．
直接利用反比例函数的性质结合图象分布，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，也不平分一组对角，故答案应为对角线互相平分，所以ACD错误，B正确．
故选：．
根据矩形，菱形，正方形的有关的性质与结论，易得答案．
此题需掌握特殊平行四边形性质，并灵活比较应用．
 

6.【答案】

【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，根据三角形的外角的性质可求的度数．
本题考查了旋转的性质，三角形的外角和，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
函数图象位于二、四象限，
，位于第二象限，，
；
又位于第四象限，
，
．
故选：．
先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当时，在每个象限内，反比例函数值随的增大而增大．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，则，

，
平分，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
，
故选：．
连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意知，摸到白球的概率约为，
所以估计盒子中大约有白球个，
故答案为：．
先根据题意得出摸到白球的概率，再用球的总个数乘以其对应概率即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

10.【答案】

【解析】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据，
故答案为：
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积即可．
本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，根据菱形对角线求得菱形的面积是解题的关键，难度一般．
 

11.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
；
故答案为：．
证出，得出，进而得出答案．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】

【解析】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，
，，
．
故答案为：．
把交点坐标代入个函数后，得到，，再利用整体代入法求的值即可．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
在中，，，是的中点，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，连接，，设与轴交于点，

轴，
，
点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，
，，
即，
故答案为：．
连接，，设与轴交于点，由轴，可得，又由反比例函数系数的几何意义可知，，，进而可得的面积，由此可得出结论．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

15.【答案】

【解析】解：连接交于，
四边形是菱形，
，，
，
，
点的坐标为，点在反比例函数的图象上，
，
，
轴，
，
点的横坐标为，
点在函数的图象上，
，
，
菱形的周长为，
故答案为：．
连接交于，根据菱形的性质得到，，求得，求得，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，设▱的面积为，的面积为，过点作于点，延长交于点，

，，
，
，，
．
故答案为：．
过点作于点，延长交于点，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是平行四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形的高是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
若将绕某一点旋转可得到那么旋转中心的坐标为，旋转角度为，
故答案为：，．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，；
两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】   

【解析】解：因为，
所以被抽样的学生总数有人，
故答案为：；
如图所示：即为补全的频数分布直方图；

因为组的百分比为：
，
所以，
，
所以扇形统计图中的值为，“组”对应的圆心角是度；
故答案为：；；
人．
答：估计该校名学生中每周的课外阅读时间不少于小时的人数是人．
先根据组人数及其所占百分比求出总人数，即可补全频数分布直方图；
利用百分比的概念求得的值，用乘以对应的百分比可得“组”对应的圆心角；
用总人数乘以样本中、、组人数所占比例可估计该校名学生中每周的课外阅读时间不少于小时的人数．
此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
 

19.【答案】

【解析】解：由表格中的数据可以看出每一对与的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，
时，，
，
即．
故答案为：．
由表格中的数据可以看出每一对与的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，
设，
时，，
，
．
不能，理由：
，
时，，
汽车上午：从甲地出发，不能在上午：之前到乙地．
根据，即可得的值．
根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法求出即可．
根据时间，求出速度，即可判断．
本题为反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法及应用函数解析式解决实际问题．
 

20.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
四边形的周长．

【解析】由即可得出≌；
由全等三角形的性质得出，由矩形的性质得出，则，证四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形，进而可以解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住矩形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
，
把，代入得，
解得，
一次函数解析式为；
不等式的解集或；
把代入得，，
，
，
，
轴，
．

【解析】先把点坐标代入求出得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
利用函数图象，写出反比例函数在一次函数上方所对应的自变量的范围即可；
求得的坐标，即可得到轴，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，

，
，
．
，
．
≌，
，．
，，
，，
，
点的坐标为．
，，
，．
点、在反比例函数的图象上，
，解得：，
，
反比例函数解析式为．
存在，理由如下：
，
，．
点在轴上，
设点的坐标为．
分两种情况考虑：
当为边时，
四边形为平行四边形，
点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点的坐标为，点的坐标为；
四边形为平行四边形，
点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点的坐标为，点的坐标为；
当为对角线时，
四边形为平行四边形，
点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点的坐标为，点的坐标为．
综上所述：存在点、，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，、或、或、．

【解析】过点作轴于点，过点作轴于点，则≌，根据全等三角形的性质结合点、的坐标，即可求出点的坐标；
根据坐标的平移可找出点、的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而即可得出反比例函数的解析式；
根据的值可得出点、的坐标，设点的坐标为，分为边及为对角线两种情况考虑：当为边时，根据平行四边形的性质结合点在轴上即可表示出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，进而即可得出点、的坐标；当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即可表示出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，进而即可得出点、的坐标．综上即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标的平移、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及正方形的性质，解题的关键是：通过构造全等三角形求出点的坐标；利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次方程；分为边及为对角线两种情况求出点、的坐标．
 

23.【答案】正方形 

【解析】解：结论：四边形是正方形．
故答案为：正方形．
理由：四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是正方形；

设．
，
，
，
，
正方形是边长为；

如图中，结论：．

理由：将绕点顺时针旋转得到，则，，，
，
，
，
，，
，
，，
≌，
，
．
故答案为：．
结论：四边形是正方形；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
设由，推出，可得，解方程即可解决问题；
结论：将绕点顺时针旋转得到，则，，，证明，，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．