北京市房山区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份北京市房山区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，解答题共6小题，共75分等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）
1．8，2的等差中项是（　　）
A．±5 B．±4 C．5 D．4
2．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（　　）
A．26 B．19 C．11 D．9
3．下列结论正确的是（　　）
A．若y＝sinx，则y′＝cosx B．若y＝，则y′＝
C．若y＝cosx，则y′＝sinx D．若y＝e，则y′＝e
4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（　　）
A．8 B．6 C．3 D．1
5．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（　　）
A．16 B．8 C．﹣8 D．±8
6．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（　　）
A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ
7．已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是（　　）
A．a3+a5≥2a4 B．若a3＝a5，则a1＝a2
C．若a3＜a5，则a5＜a7 D．a4＝
8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，﹣4]
9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
10．已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，下列结论中错误的是（　　）
A．函数f（x）有零点
B．函数f（x）有极大值，也有极小值
C．函数f（x）既无最大值，也无最小值
D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于　 　s/m．
12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为　 　．

13．写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式　 　．
14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝　 　；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是　 　．
15．设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝　 　，数列{an}的前50项和S50＝　 　．
三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
17．已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．
18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝﹣24；
条件②：a1＝2a3．
19．已知数列{an}中，a1＝1且an+1＝．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
20．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的成本为3元/千克．
（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．
21．已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0，使得f（x0）＞0，求a的取值范围．


参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）
1．8，2的等差中项是（　　）
A．±5 B．±4 C．5 D．4
解：根据等差中项的性质，可得8，2的等差中项是＝5，
故选：C．
2．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2+1，则a5＝（　　）
A．26 B．19 C．11 D．9
解：根据题意，数列{an}中Sn＝n2+1，
则a5＝S5﹣S4＝（25+1）﹣（16+1）＝9，
故选：D．
3．下列结论正确的是（　　）
A．若y＝sinx，则y′＝cosx B．若y＝，则y′＝
C．若y＝cosx，则y′＝sinx D．若y＝e，则y′＝e
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，y′＝cosx，A正确；
对于B，y＝，则y′＝﹣，B错误；
对于C，y＝cosx，则y′＝﹣sinx，C错误；
对于D，y＝e，则y′＝0，D错误；
故选：A．
4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（　　）
A．8 B．6 C．3 D．1
解：根据题意，函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（x）＝6（2x﹣1）2，
则f′（1）＝6（2﹣1）2＝6，
故选：B．
5．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（　　）
A．16 B．8 C．﹣8 D．±8
解：若1，a，b，c，4成等比数列，∴b2＝ac＝1×4，
∴b＝2，（负不合题意，奇数项符号相同），
则abc＝2×4＝8，
故选：B．
6．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（　　）
A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ
解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是10%，
如果要使H3获得10kJ能量，
则H1×（10%）2＝H3，解得H1＝103KJ，
故选：D．
7．已知{an}为等比数列，下列结论中正确的是（　　）
A．a3+a5≥2a4 B．若a3＝a5，则a1＝a2
C．若a3＜a5，则a5＜a7 D．a4＝
解：对于A：若a3＝﹣1，a4＝2，a5＝﹣4，则a3+a5≥2a4不成立，故A错误；
对于B：若a3＝a5，则a1q2＝a1q4，解得q＝±1，此时a1＝a2不一定成立，故B错误；
对于C：若a3＜a5，则a3q2＜a5q2，此时a5＜a7，故C正确；
对于D：a4＝±，故D错误；
故选：C．
8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，﹣4]
【解答】解；因为f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，
所以，
解得m≥2．
故选：A．
9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
解：设切点M（m，n），y′＝3x2+2，
则3m2+2＝5，解得m＝1或﹣1；
若m＝1，则n＝5+b＝13+2×1+1＝4⇒b＝﹣1；
若m＝﹣1，则n＝﹣5+b＝（﹣1）3+2×（﹣1）+1＝﹣2⇒b＝3；
综上所述，b＝﹣1或3，
故选：B．
10．已知函数f（x）＝（x﹣1）2ex，下列结论中错误的是（　　）
A．函数f（x）有零点
B．函数f（x）有极大值，也有极小值
C．函数f（x）既无最大值，也无最小值
D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点
解：对于A．∵f（1）＝0，∴函数f（x）有零点，因此A正确．
对于BC．令f′（x）＝（x+1）（x﹣1）ex＝0，解得x＝﹣1或1．
可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，因此x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，x＝1是函数f（x）的极小值点，
因此函数f（x）有极小值，也有极大值，因此B正确，C不正确．
对于D．由上面可知：x＝﹣1是函数f（x）的极大值点，
x＝1是函数f（x）的极小值点，可得极大值f（﹣1）＝＞1，极小值f（1）＝0，
又x→﹣∞时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞．
∴函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点，因此D不正确．
故选：C．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于　10　s/m．
解：∵x＝t2+4t，
∴x′＝2t+4，
则t＝3时，x′＝2×3+4＝10，
故答案为：10．
12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为　（2，4]　．

解：若f′（x）的图像为虚线，则f（x）的图像为实线，
由f′（x）＞0，得：x＞3，故f（x）在（3，4）递增，与f（x）的实线不符，
故不成立；
若f′（x）的图像为实线，则f（x）的图像为虚线，
由f′（x）＞0，得：x＞2，故f（x）在（2，4）递增，与f（x）的图像为虚线相符，
故成立；
综上：f（x）在（2，4]递增，
故答案为：（2，4]．
13．写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式　an＝﹣（）n，（首项为负数即可）　．
解：若等比数列为递增的，由于公比q＝，则首项为负数即可，则an＝﹣（）n，
故答案为：an＝﹣（）n，（首项为负数即可）．
14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝　2　；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是　（﹣∞，2）　．
解：函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），
由函数f（x）无极值，则f′（x）≥0恒成立，可得a＝2．
令f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2）＝0，解得x＝a或2．
若x＝2是f（x）的极小值点，则a＜2
则a的取值范围是（﹣∞，2）．
故答案为：2，（﹣∞，2）．
15．设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{an}，则a2＝　3　，数列{an}的前50项和S50＝　4590　．
解：数列{4n﹣3}是首项为1，公差为4的等差数列，数列{3n﹣1}是首项为1，公比为3的等比数列，
可得a1＝1，a2＝3，
由3，27不在A中，1，9，81在A中，也在B中，
由4n﹣3＜243，可得n＞50，则243不在数列{an}的前50项内．
则数列{an}的前50项的和为（1+5+9+...+4×48﹣3）+3+27＝×48×（1+4×48﹣3）+30＝4560+30＝4590．
故答案为：3，4590．
三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1，定义域是R，
∴f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，
令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增，
则f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣8．
17．已知数列{an}满足a1＝1，＝2，等差数列{bn}满足b1＝a3，b2＝a1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．
解：（Ⅰ）由a1＝1，＝2，
可得an＝2n﹣1；
设等差数列{bn}的公差为d，
由b1＝a3＝4，b2＝a1＝1，
可得d＝b2﹣b1＝﹣3，
则bn＝4﹣3（n﹣1）＝7﹣3n；
（Ⅱ）an+bn＝2n﹣1+7﹣3n，
可得数列{an+bn}的前n项和为（1+2+4+...+2n﹣1）+（4+1+...+7﹣3n）
＝+n（4+7﹣3n）＝2n﹣1+．
18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a4＝﹣3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝﹣24；
条件②：a1＝2a3．
解：若选择条件①：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又S4＝﹣24，得4a1+＝﹣24，即2a1+3d＝﹣12②．
联立①②，解得a1＝﹣9、d＝2，所以an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣9n+×2＝n2﹣10n，所以S5＝52﹣10×5＝﹣25，根据二次函数的性质可得当n＝5时Sn有最小值且最小值为S5＝﹣25．
若选择条件②：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a4＝﹣3，得a1+3d＝﹣3①；又a1＝2a3，得a1＝2（a1+2d）即a1+4d＝0②．
联立①②，解得a1＝﹣12、d＝3，所以an＝﹣12+3（n﹣1）＝3n﹣15．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：Sn＝﹣12n+×3＝n2﹣n，由于n∈N+，所以当n＝4或n＝5时Sn有最小值且最小值为S4＝S5＝30．
19．已知数列{an}中，a1＝1且an+1＝．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
解：（Ⅰ）a1＝1且an+1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an＝，
证明如下：①当n＝1时，等式成立，
假设当n＝k时等式成立，即ak＝，
那么当n＝k+1时，ak+1＝＝＝＝，
所以当n＝k+1时，等式成立，
由①②，对于任何n∈N*，an＝．
20．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式Q＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6．该产品的成本为3元/千克．
（Ⅰ）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（Ⅱ）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（Ⅲ）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大．
解：（Ⅰ）由题意可知每千克的利润为x﹣3；
（Ⅱ）由题意可知y＝＝10（x﹣3）3﹣60（x﹣3）2+90（x﹣3）+2，（3＜x＜6），
（Ⅲ）由（2）知y′＝30（x﹣4）（x﹣6），
令y′＝0，解得x＝4，或x＝6；
∴函数在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，
∴x＝4时，函数取得最大值为42，
即售价为4元时日利润最大为42元．
21．已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0，使得f（x0）＞0，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝lnx+x，
则f′（x）＝+1，f（1）＝1，f′（1）＝2，
故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．
（Ⅱ）函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）＝，
①当a≥0时，f′（x）＝＞0，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在（0，﹣）上单调递增；
x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，
则函数f（x）＝lnx+ax（a∈R）在（﹣，+∞）上单调递减．
综上所述，
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣）；单调递减区间为（﹣，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，而f（1）＝a≥0，
则存在x0，使得f（x0）＞0，
a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，
故f（x）max＝f（﹣）＝﹣ln（﹣a）﹣1＞0，
即ln（﹣a）＜﹣1，解得：﹣＜a＜0，
综上：a的取值范围是（﹣，+∞）．