2022长沙一中高一下学期第三次阶段性检测数学试卷含解析

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长沙市第一中学2021-2022学年度高一第二学期第三次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知C为复数集，集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知，则（    ）A.  B. 1 C.  D. 3. 已知函数在上单调递增，则的值可以是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 设，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 下列说法正确的是（    ）A. 空间中过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直B. 空间中过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行C. 过平面外一点有且只有一个平面与这个平面垂直D. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行6. 有一组样本容量为10的样本数据为：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则该样本中（    ）A. 中位数与平均数的值不同 B. 第70百分位数与众数的值不同C. 方差与极差的值相同 D. 方差与标准差的值相同7. 已知是空间中两两不共线的非零向量，则“，”是“，”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ）A. 当时，存在点P使得CPBA1B. 当时，不存在点P使得B，P，C1三点共线C. 当时，不存在点P使得A1，B1，C，P四点共面D. 当时，存在点P使得A1B⊥AP二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（    ）A.  B. C.  D. 若，则10. 已知函数，设其定义域为I，则（    ）A. 为奇函数 B. 为偶函数C. ， D. ，11. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD的交点为G，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则（    ）A. PD⊥EFB. 三棱锥P−DEF的体积为C. PG与DF所成角的余弦值为D. 三棱锥P−DEF外接球的表面积为12. 有6个相同球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 假设，且事件A与B相互独立，则________.14. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为___________.15. 如图，为了测量河对岸的塔高，选与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得米，则塔高________米．16. 已知，点A，B，C是函数与的图象中连续相邻的三个公共点，若△ABC是钝角三角形，则的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知向量=（，），，=（1，）.（1）若，求的值；（2）若，求的值.18. 某中学有初中生1800人，高中生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用按比例分层随机抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中生”和“高中生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示.（1）估计全校学生中课外阅读时间不足10个小时的总人数是多少；（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率.19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G为AB中点，E，F分别在线段A1C1，AC上，且. （1）求证：平面BB1F；（2）求四面体BEFG的体积.20. 在△ABC中，，.（1）求的值；（2）求△ABC的面积S.21. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，点E为BC的中点，△AEB为等边三角形.（1）证明：PB⊥AE；（2）点F在线段PD上且DF=2FP，若二面角F−AC−D的大小为45°，求直线AE与平面ACF所成角的正弦值.22. 已知函数在区间（）上最大值为，最小值为，记.（1）求的值；（2）设（）.①若，试写出方程的一个解；②若，求函数的零点个数.