2021-2022学年江苏省南京市秦淮区六校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省南京市秦淮区六校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形

2. 下列调查中，适合用抽样调查的是

A. 订购校服时了解学生衣服的尺寸
B. 考察一批炮弹的杀伤半径
C. 疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测
D. 对登机的旅客进行安全检查

3. 下列事件中，确定事件是

A. 打开电视机，正在播放广告
B. 买一张电影票，座位号是奇数号
C. 天内会下雨
D. 个人中至少有人生日在同一个月

4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为

A.
B.
C.
D.

5. 一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字到，抛掷这枚骰子次，下列事件中可能性最大的是

A. 朝上的面的数字是 B. 朝上的面的数字是的倍数
C. 朝上的面的数字不小于 D. 朝上的面的数字是偶数

6. 年南京市有近万人报名参加中考．为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是

A. 近万名考生是总体 B. 这名考生是总体的一个样本
C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 名考生是样本容量

7. 四边形的对角线、相交于点下列条件：，；，；，；，中，一定能判定四边形是平行四边形的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形中，、是对角线上的两点，且若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9. 在▱中，若，则的度数为______．
10. 某班级名学生在一次考试中，分数段在分的频率为，则该班级在这个分数段内的学生有______人．
11. 在空气的成分中，氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占若要表示以上信息，最合适的统计图是______．
12. 一个不透明袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同，搅匀后从袋中摸球．据此，请你写出一个随机事件______．
13. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，则______

14. 如图，矩形中，若，，则______．
     

15. 如图，、两点的坐标分别为、，是平面直角坐标系内一点．若四边形是菱形，则点的坐标为______．

16. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是______．
17. 如图，矩形中，点在上，且平分，若，，则的面积为______．

18. 如图，正方形的边长为，为的中点，、分别为、边上的点，若，，则的长为______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

19. 如图，在▱中，点、分别在、上，且求证：四边形是平行四边形．
20. 某校学生在劳动技能培训后参加了一次考核，考核成绩分为“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．随机抽取其中若干名学生的考核成绩并制成如图的统计图，已知培训后成绩“不合格”的人数和成绩“优秀”的人数相等．请回答下列问题：
    本次抽样调查的样本容量是______；
    将图补充完整；
    估计该校名学生中，培训后考核成绩为“合格”的学生人数．

21. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：

完成上述表格：______，______；
若继续不停转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；结果都精确到
顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______用“”连接

22. 证明：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
    已知：如图，在▱中，______．
    求证：▱是菱形．
    证明：
     

23. 如图，点、分别在正方形的边、上，，连接、．
    求证≌；
    可由逆时针旋转得到．
    作出旋转中心保留作图痕迹，不写作法；
    ______；
    若正方形边长为，是的中点，则点绕点旋转到点的过程中，点运动形成的路径长为______结果保留
24. 如图，在中，点、分别在边、上．
    若、分别是、的中点，求证；

若是的中点，，求证：是的中点．

25. 已知直线和直线外一点，只利用圆规完成以下作图．保留作图列迹，不写画法
    图中，作点，使；
    图中，作点、、，使、、、为矩形的四个顶点．

26. 如图，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点探索与之间的数量关系，并说明理由．
    
    如图，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是______．
    小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.矩形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】解：订购校服时了解学生衣服的尺寸，适合全面调查，不符合题意；
B.考察一批炮弹的杀伤半径，适合抽样调查，符合题意；
C.疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测，适合全面调查，不符合题意；
D.对登机的旅客进行安全检查，适合全面调查，不符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】

【解析】解：、打开电视机，正在播放广告为不确定事件，即随机事件，故不符合题意；
B、买一张电影票，座位号是奇数号为不确定事件，即随机事件，故不符合题意；
C、天内会下雨为随机事件，故不符合题意；
D、个人中至少有人生日在同一个月为确定事件，故符合题意，
故选：．
根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可．
本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，从图中找出 为 的中位线，根据三角形中位线定理和菱形四条边相等的性质解答．根据已知可得 是 的中位线，即可求得 的长，则得菱形的边长，从而就不难求得其周长了．
【解答】
解： 是菱形，
，
又 ，
为 的中位线，
，
，
菱形 的周长 ．
故选 D ．   

5.【答案】

【解析】解：朝上的面的数字是的概率是，
朝上的面的数字是的倍数的概率是；
朝上的面的数字不小于的概率是，
朝上的面的数字是偶数的概率是，
，
可能性最大的是朝上的面的数字不小于；
故选：．
根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案．
此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】

【解析】解：近万名考生的数学成绩是总体，故选项A不合题意；
这名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项B不合题意；
每位考生的数学成绩是个体，故选项C符合题意；
是样本容量，故选项D不合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

7.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的判定可得：能使四边形是平行四边形，
故选D．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
 

8.【答案】

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，

，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
又，
≌，
，
，
．
故选：．
将绕点逆时针旋转得到，连接，证明≌，可得，中，有，即得求得结果．
此题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解决此类题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形为平行四边形，
．
故答案为．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
该班级在这个分数段内的学生有人，
故答案为：．
根据频数频率总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频数频率总次数是解题的关键．
 

11.【答案】扇形统计图

【解析】解：最合适的统计图是扇形统计图．
故答案为：扇形统计图．
根据扇形统计图的特点：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案．
此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键．
 

12.【答案】从袋中随机摸一个球恰好是白球答案不唯一

【解析】解：一个不透明袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同，搅匀后从袋中摸球．
据此，写出一个随机事件：从袋中随机摸一个球恰好是白球答案不唯一；
故答案为：从袋中随机摸一个球恰好是白球答案不唯一．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，根据，即可得．
本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，进而利用等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；求出的长是本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：点，
，
四边形是菱形，
，，
点，
点，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】或是以、为腰的等腰梯形答案不唯一

【解析】解：条件是．
、分别是、的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形．
要使四边形是菱形，则要使，这样，，
，
四边形是菱形．
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一．
此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定．
 

17.【答案】

【解析】解：在矩形中，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
的面积．
故答案为：．
根据矩形的性质和角平分线定义可得，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
 

18.【答案】

【解析】解：正方形的边长为，为的中点，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
，，
．
故答案为：．
先证明∽，再利用相似三角形的性质可得的长，最后利用勾股定理可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．

【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
 

20.【答案】

【解析】解：．
故本次抽样调查的样本容量是．
故答案为：；
不合格人数为名，
合格人数为名，
将图补充完整为：

名．
故培训后考核成绩为“合格”的学生人数为名．
根据优秀人数除以优秀人数圆心角占的比率的计算，即可求出本次抽样调查的样本容量；
先得到不合格人数，进一步得到合格人数，即可将图补充完整；
利用乘培训后考分等级为“合格”的学生的比例即可求解．
本题主要考查了用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图，通过条形统计图可以得到每组的具体人数，而通过扇形统计图可以得到各组所占的比例．
 

21.【答案】       

【解析】解：；；
故答案为：；；
若继续不停转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是；
故答案为：，；
；；，
，
故答案为：．
根据频率和频数的关系求得和的值即可；
利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可．
本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】平分，平分

【解析】解：已知：如图，在▱中，平分，平分，
求证：▱是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
，
平分，平分，
，，
，
，
▱是菱形，
故答案为：平分，平分．
由角平分线的性质和平行四边形的性质可得，由菱形的判定可得结论．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；

解：如图，点即为所求作的点；


连接，，
由正方形的对称性得，点是正方形的中心，
，
故答案为：；

如图，

点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
点绕点旋转到点的轨迹为以点为圆心，为半径，圆心角为的一段弧，
由正方形的性质得，点运动形成的路径长为，
故答案为：．
利用即可判断出结论；
作出线段，的中垂线，即可求出点的位置；
根据正方形的对称性，即可求出答案；
先判断出点的运动轨迹，最后用弧长公式求解，即可求出答案．
此题主要考查了正方形的性质，中垂线的作法，全等三角形的判定和性质，弧长公式，判断出点的轨迹是解本题的关键．
 

24.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形    四边形为平行四边形

【解析】证明：如图，延长到点，使，连接、、．
、分别是、的中点，
，．
，，
四边形是平行四边形其依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，．
又，
．
四边形为平行四边形，
，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；；四边形为平行四边形；
，
，
，
，即是的中点．
延长到点，使，连接、、，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，点为所作；
如图，矩形为所作．
 

【解析】在直线上任意取点、，再分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧相交于点，则直线；
在直线任意取点，以点为圆心，为半径作圆交直线于、，然后分别以、为圆心，为半径画弧交于、、．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
 

26.【答案】

【解析】解：，理由如下：
四边形是正方形，是对角线的中点，
，，
，
，
点与点重合，
，
；
故答案为：；
如图，过点作交于点，交于点，

四边形是正方形，
，，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由平移可知：，，
，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
过点作交于点，交于点，得四边形是矩形，证明是等腰直角三角形，证明≌，可得，，得为等腰直角三角形，进而可以解决问题．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．