2023版（全国版）高考大一轮复习讲义第十章　电磁感应

第2节　法拉第电磁感应定律　自感和涡流

一、法拉第电磁感应定律

1.感应电动势

(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势。

(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。

(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断。

2.法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数。

(3)感应电流与感应电动势的关系：遵循闭合电路的欧姆定律，即I＝。

(4)当ΔΦ仅由B的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ仅由S的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ由B、S的变化同时引起时，则E＝n≠n。

(5)磁通量的变化率是Φ－t图象上某点切线的斜率。

3.导体切割磁感线时的感应电动势

(1)导体垂直切割磁感线时，感应电动势可用E＝Blv求出，式中l为导体切割磁感线的有效长度。

(2)导体棒在磁场中转动时，导体棒以端点为轴，在匀强磁场中垂直于磁感线方向匀速转动产生感应电动势E＝Bl＝Bl2ω(平均速度等于中点位置的线速度lω)。

【自测1】 如图1所示，半径为r的n匝线圈放在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场充满正方形区域并垂直穿过该区域。当磁场以的变化率变化时，线圈产生的感应电动势大小为(　　)

图1

A.0 B.n·L2

C.n·πr2 D.n·r2

答案　B

二、自感、涡流

1.自感现象

当一个线圈中的电流变化时，它产生的变化的磁场不仅在邻近的电路中激发出感应电动势，同样也在它本身激发出感应电动势。

2.自感电动势

(1)由于自感而产生的感应电动势叫做自感电动势。

(2)表达式：E＝L。

3.自感系数L

(1)影响因素：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯有关。

(2)单位：亨利(H)，1 mH＝10－3H，1 μH＝10－6H。

4.涡流现象

(1)涡流：块状金属放在变化磁场中，或者让它在磁场中运动时，金属块内产生的旋涡状感应电流。

(2)产生原因：金属块内磁通量变化→感应电动势→感应电流。

5.电磁阻尼

当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力的方向总是阻碍导体的相对运动。

6.电磁驱动

如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流，感应电流使导体受到安培力的作用，安培力使导体运动起来。

【自测2】 在如图2所示的电路中，LA为灯泡，S为开关，L为有铁芯的线圈。对于这样的电路，下列说法正确的是(　　)

图2

A.因为线圈L通电后会产生自感现象，所以S闭合后，灯泡LA中无电流通过

B.在S打开或闭合的瞬间，电路中都不会产生自感现象

C.当S闭合时，电路中会产生自感现象

D.在S闭合后再断开的瞬间，灯泡LA可能不立即熄灭

答案　C

考点一　法拉第电磁感应定律的理解和应用

1.常用变形式

公式E＝n的应用，ΔΦ与B、S相关，可能是＝B，也可能是＝S，当B＝kt时，＝kS。

2.感应电荷量：q＝n

(1)推导：通过回路横截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝Δt＝。

(2)注意：感应电荷量q由n、ΔΦ和电阻R共同决定，与Δt无关。

【例1】 轻质细线吊着一质量为m＝0.42 kg、边长为L＝1 m、匝数n＝10的正方形线圈，其总电阻为r＝1 Ω。在线圈的中间位置以下区域分布着磁场，如图3甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。(g取10 m/s2)

图3

(1)判断线圈中产生的感应电流的方向是顺时针还是逆时针；

(2)求线圈的电功率；

(3)求在t＝4 s时轻质细线的拉力大小。

答案　(1)逆时针　(2)0.25 W　(3)1.2 N

解析　(1)由楞次定律知感应电流的方向为逆时针方向。

(2)由法拉第电磁感应定律得

E＝n＝n·L2＝0.5 V

则P＝＝0.25 W。

(3)I＝＝0.5 A，由题图乙可知，t＝4 s时，B＝0.6 T，F安＝nBIL

F安＋FT＝mg

联立解得FT＝1.2 N。

1.(多选)(2019·全国卷Ⅰ)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图4(a)中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图(a)所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内(　　)

图4

A.圆环所受安培力的方向始终不变

B.圆环中的感应电流始终沿顺时针方向

C.圆环中的感应电流大小为

D.圆环中的感应电动势大小为

答案　BC

解析　根据楞次定律可知在0～t0时间内，磁感应强度均匀减小，圆环中感应电流为顺时针方向，所受安培力的方向水平向左；在t0～t1时间内，磁感应强度反向增大，圆环中感应电流为顺时针方向，所受安培力的方向水平向右，所以A错误，B正确；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝·S′＝·＝，根据闭合电路欧姆定律知，电流I＝＝＝，C正确，D错误。

考点二　导体切割磁感线产生感应电动势

1.大小计算

说明　(1)导体与磁场方向垂直。(2)磁场为匀强磁场。

2.方向判断

(1)把产生感应电动势的那部分电路或导体当作电源的内电路，那部分导体相当于电源。

(2)电源内部电流的方向是由负极(低电势)流向正极(高电势)，外电路顺着电流方向每经过一个电阻电势都要降低。

角度1　平动切割磁感线

【例2】 (多选)(2021·河南信阳质检)半径为a右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终与圆环保持良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图5所示，则(　　)

图5

A.θ＝0时，杆产生的电动势为2Bav

B.θ＝时，杆产生的电动势为Bav

C.θ＝时，杆受到的安培力大小为

D.θ＝0时，杆受到的安培力大小为

答案　AC

解析　θ＝0时，杆产生的电动势E＝BLv＝2Bav，故A正确；θ＝时，根据几何关系得出此时杆的有效切割长度是L′＝a，所以杆产生的电动势为E′＝Bav，故B错误；θ＝时，电路中总电阻是R总＝aR0，杆中电流I′＝，杆受到的安培力大小F′＝BI′L′＝，故C正确；θ＝0时，电路中总电阻为(2＋π)aR0，所以杆受的安培力大小F＝BIL＝B·2a＝，故D错误。

角度2　转动切割磁感线

【真题示例3】 (多选)(2021·广东卷)如图6所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨。圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图的匀强磁场。金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好。初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有(　　)

图6

A.杆OP产生的感应电动势恒定

B.杆OP受到的安培力不变

C.杆MN做匀加速直线运动

D.杆MN中的电流逐渐减小

答案　AD

解析　根据转动切割磁感线产生感应电动势的公式可知EOP＝Bl2ω，故A正确；OP切割磁感线，产生感应电流，由右手定则可判断出MN中电流为从M到N，根据左手定则可知MN所受安培力向左，MN向左运动，切割磁感线，产生的感应电流与OP切割磁感线产生的感应电流方向相反，故OP与MN中的电流会逐渐减小，OP所受安培力逐渐减小，MN做加速度逐渐减小的加速运动，故B、C错误，D正确。

2.(平动切割磁感线)如图7所示，在庆祝反法西斯胜利70周年阅兵盛典上，我国预警机“空警－2 000”在通过天安门上空时机翼保持水平，以4.5×102 km/h的速度自东向西飞行。该机的翼展(两翼尖之间的距离)为50 m，北京地区地磁场的竖直分量向下，大小为4.7×10－5 T，则(　　)

图7

A.两翼尖之间的电势差为2.9 V

B.两翼尖之间的电势差为1.1 V

C.飞机左方翼尖的电势比右方翼尖的电势高

D.飞机左方翼尖的电势比右方翼尖的电势低

答案　C

解析　飞机的飞行速度为4.5×102 km/h＝125 m/s，飞机两翼尖之间的电动势为E＝BLv＝4.7×10－5×50×125 V＝0.29 V，A、B项错误；飞机从东向西飞行，磁场竖直向下，根据右手定则可知，飞机左方翼尖的电势高于右方翼尖的电势，C项正确，D项错误。

3.(转动切割磁感线)(多选)如图8所示，等边三角形导体框abc边长为l，bd⊥ac，导体框绕轴bd以角速度ω匀速转动，导体框所在空间有竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。下列说法正确的是(　　)

图8

A.导体框中无感应电流

B.导体框中产生正弦交变电流

C.a、d两点间电势差为0

D.a、d两点间电势差为Bl2ω

答案　AD

解析　由于导体框平面始终与磁场方向平行，则穿过导体框的磁通量始终为零，即导体框中无感应电流，选项A正确，B错误；由导体棒在磁场中转动切割磁感线产生感应电动势可知，a、d两点间的电势差为E＝Bω()2＝Bωl2，选项C错误，D正确。

考点三　自感现象

自感中“闪亮”与“不闪亮”问题

4.(通电自感)如图9所示，图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮。而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是(　　)

图9

A.图甲中，A1与L1的电阻值相同

B.图甲中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流

C.图乙中，滑变阻器R接入电路的电阻值与L2的电阻值相同

D.图乙中，闭合S2瞬间，L2中电流与滑动变阻器R中电流相等

答案　C

解析　断开开关S1瞬间，线圈L1产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L1的电流反向通过A1，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗，说明IL1>IA1，即RL1<RA1，故A、B错误；题图乙中，闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同，说明滑动变阻器R接入电路的电阻值与L2的电阻值相同，故C正确；闭合S2瞬间，通过L2的电流增大，由于电磁感应，线圈L2产生自感电动势，阻碍电流的增大，则L2中电流与变阻器R中电流不相等，故D错误。

5.(自感现象中的图象问题)(2021·湖南常德调研)如图10所示的电路，开关闭合，电路处于稳定状态，在某时刻t1突然断开开关S，则通过电阻R1的电流I1随时间变化的图线可能是下图中的(　　)

图10

答案　D

解析　当断开开关，原来通过R1的电流立即消失，由于电磁感应，线圈L产生自感电动势阻碍自身电流变化，产生的感应电流流过电阻，其方向与原来流过电阻R1的电流方向相反，慢慢减小最后为零，故D正确。

考点四　涡流、电磁阻尼和电磁驱动

6.(电磁阻尼)扫描隧道显微镜(STM)可用来探测样品表面原子尺度上的形貌。为了有效隔离外界振动对STM的扰动，在圆底盘周边沿其径向对称地安装若干对紫铜薄板，并施加磁场来快速衰减其微小振动，如图11所示。无扰动时，按下列四种方案对紫铜薄板施加恒磁场；出现扰动后，对于紫铜薄板上下及其左右振动的衰减最有效的方案是(　　)

图11

答案　A

解析　感应电流产生的条件是闭合回路中的磁通量发生变化。在A图中，系统振动时，紫铜薄板随之上下及左右振动，在磁场中的部分有时多有时少，磁通量发生变化，产生感应电流，受到安培力，阻碍系统的震动；在B、D图中，只有紫铜薄板左右振动才产生感应电流，而上下振动无电流产生；在C图中，无论紫铜薄板上下振动还是左右振动，都不会产生感应电流，故选项A正确，B、C、D错误。

7.(涡流)(多选)如图12所示，在线圈上端放置一盛有冷水的金属杯，现接通交流电源，过了几分钟，杯内的水沸腾起来。若要缩短上述加热时间，下列措施可行的有(　　)

图12

A.增加线圈的匝数 B.提高交流电源的频率

C.将金属杯换为瓷杯 D.取走线圈中的铁芯

答案　AB

解析　当电磁铁接通交流电源时，金属杯处在变化的磁场中产生涡电流发热，使水温升高。要缩短加热时间，需增大涡电流，即增大感应电动势或减小电阻。增加线圈匝数、提高交变电流的频率都是为了增大感应电动势。瓷杯不能产生涡电流，取走铁芯会导致磁性减弱。所以A、B正确。

考点一　法拉第电磁感应定律的理解和应用

1.三个相同的金属圆环内存在着不同的有界匀强磁场，虚线表示环的某条直径，已知所有磁场的磁感应强度随时间变化关系都满足B＝kt，磁场方向如图1所示。测得A环内感应电流强度为I，则B环和C环内感应电流强度分别为(　　)

图1

A.IB＝I，IC＝0 B.IB＝I，IC＝2I

C.IB＝2I，IC＝2I D.IB＝2I，IC＝0

答案　D

解析　C环中穿过圆环的磁感线完全抵消，磁通量为零，保持不变，所以没有感应电流产生，即IC＝0。根据法拉第电磁感应定律得E＝＝S＝kS，S是有效面积，可得E∝S，所以A、B中感应电动势之比EA∶EB＝1∶2，根据欧姆定律得IB＝2IA＝2I，选项D正确。

2.(多选)(2021·安徽滁州模拟)如图2甲所示，线圈两端a、b与一电阻R相连，线圈内有垂直于线圈平面向里的磁场，t＝0时起，穿过线圈的磁通量按图乙所示的规律变化，下列说法正确的是(　　)

图2

A.0.5t0时刻，R中电流方向为由a到b

B.1.5t0时刻，R中电流方向为由a到b

C.0～t0时间内R中的电流小于t0～2t0时间内R中的电流

D.0～t0时间内R中的电流大于t0～2t0时间内R中的电流

答案　AC

解析　由楞次定律可知0～t0时间内线圈中的感应电流方向为逆时针方向，t0～2t0时间内线圈中感应电流的方向为顺时针方向，故A正确，B错误；根据法拉第电磁感应定律可知0～t0时间内感应电动势是t0～2t0时间内的，故0～t0时间内R中的电流是t0～2t0时间内的，故C正确，D错误。

考点二　导体切割磁感线产生感应电动势

3.(2021·安徽怀宁二中月考)如图3所示，abc为一金属导体，ab＝bc＝l，置于均匀磁场B中，当导体以速度v向右运动时，ac上产生的感应电动势为(　　)

图3

A.Blv B.Blv

C.Blv D.Blv＋Blv

答案　B

解析　ab边不切割磁感线，bc边在竖直方向的分量可视为切割磁场的有效长度，即根据感应电动势公式E＝Blvsin 60°＝Blv，故A、C、D错误，B正确。

4.(多选)(2021·山东潍坊期末)如图4所示，等边三角形导体框abc边长为l，bd⊥ac，导线框绕轴bd以角速度ω匀速转动，导体框所在空间有竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场。下列说法正确的是(　　)

图4

A.导体框中无感应电流 B.导体框中产生正弦交变电流

C.a、d两点间电势差为0 D.a、d两点间电势差大小为Bl2ω

答案　AD

解析　导体框绕bd转动过程中，穿过线圈的磁通量总是零，故无感应电流产生，A正确，B错误；a、d两点间电势差大小为Uad＝Bω＝Bωl2，C错误，D正确。

考点三　自感现象

5.(2021·江苏徐州模拟)如图5所示，三个相同的灯泡L1、L2、L3，电感线圈L的电阻可忽略，D为理想二极管。下列说法正确的是(　　)

图5

A.闭合开关S的瞬间，L3立即变亮，L1、L2逐渐变亮

B.闭合开关S的瞬间，L2、L3立即变亮，L1逐渐变亮

C.断开开关S的瞬间，L2立即熄灭，L1先变亮一下然后才熄灭

D.断开开关S的瞬间，L2立即熄灭，L3先变亮一下然后才熄灭

答案　B

解析　闭合开关S瞬间，二极管处于通路，灯泡L2立即变亮，线圈L由于自感使灯泡L1的电流缓慢增大，灯泡L1将慢慢变亮，L3也立即变亮，故选项A错误，B正确；断开开关S的瞬间，因二极管的导通方向与电流方向相反，则L2立即熄灭，线圈L与灯泡L1、L3构成回路，因线圈L自感的阻碍电流减小，则灯泡L1、L3逐渐变暗后熄灭，故选项C、D错误。

考点四　涡流、电磁阻尼和电磁驱动

6.(2021·安徽太和一中质检)以下现象中属于涡流现象的应用是(　　)

答案　B

解析　电烤箱是利用电流发热的原理，故A错误；金属探测仪是通过物体上产生涡流而使报警器发出警告的，故B正确；工人穿上金属丝织成的衣服可以高压带电作业是利用静电屏蔽原理，故C错误；车载充电器是电容器，故D错误。

7.(多选)(2021·江西南昌质检)铺设海底金属油气管道时，焊接管道需要先用感应加热的方法对焊口两侧进行预热。如图6所示，将被加热管道置于感应线圈中，当感应线圈中通以电流时管道发热，下列说法中正确的是(　　)

图6

A.采用增大交变电流的频率，可使焊接效果越好

B.采用增大感应线圈电阻值，可使焊接效果越好

C.采用金属电阻率越小的管道材料，焊接效果越好

D.感应线圈中通以正弦交流电，在管道中产生的涡流也是交流电

答案　ACD

解析　高频焊接利用高频交变电流产生高频交变磁场，在焊接的金属工件中就产生感应电流，根据法拉第电磁感应定律分析可知，电流变化的频率越高，磁通量变化频率越高，产生的感应电动势越大，感应电流越大，焊接处的温度升高得越快，故A正确；当增大感应线圈电阻，相当于减小了交流电的电流，电流的峰值变小，在频率不变的情况下，单位时间电流的变化量变小，即电流的变化率变小，则磁场的变化率变小，磁通量的变化率变小，加热效果减弱，故B错误；采用金属电阻率越小的管道材料，会在焊接的管道中产生较大的电流，焊接效果越好，C正确；感应线圈中通以正弦交流电，根据法拉第电磁感应定律可知，在管道中产生的涡流也是交流电，D正确。

8.(2021·江苏启东中学月考)如图7所示，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0，使该线框从静止开始绕过圆心O，垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为(　　)

图7

A. B. 

C. D.

答案　C

解析　线框匀速转动半周产生的感应电动势E＝BLv＝BL2ω＝B02ω＝，由法拉第电磁感应定律E＝得E＝·可得＝，故选C。

9.(2021·山东卷)迷你系绳卫星在地球赤道正上方的电离层中，沿圆形轨道绕地飞行。系绳卫星由两子卫星组成，它们之间的导体绳沿地球半径方向，如图8所示。在电池和感应电动势的共同作用下，导体绳中形成指向地心的电流，等效总电阻为r。导体绳所受的安培力克服大小为f的环境阻力，可使卫星保持在原轨道上。已知卫星离地平均高度为H，导体绳长为L(L≪H)，地球半径为R、质量为M，轨道处磁感应强度大小为B，方向垂直于赤道平面。忽略地球自转的影响。据此可得，电池电动势为(　　)

图8

A.BL＋ B.BL－

C.BL＋ D.BL－

答案　A

解析　根据右手定则，导体绳切割磁感线产生的感应电动势方向向上，是由于L≪H，可认为导体绳平动切割磁感线，其切割电动势大小为BLv，则导体绳中总电动势为E总＝E电－BLv；对卫星由万有引力等于向心力G＝m，解得v＝；由题意BIL＝f, 其中I＝，联立可得E电＝BL＋，故A正确，B、C、D错误。

10.如图9甲所示，两根足够长的水平放置的平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为L，导轨间电阻为R。PQ右侧区域处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；PQ左侧区域两导轨间有一面积为S的圆形磁场区，该区域内磁感应强度随时间变化的图象如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向，图象中B0和t0都为已知量。一根电阻为r、质量为m的导体棒置于导轨上，0～t0时间内导体棒在水平外力作用下处于静止状态，t0时刻立即撤掉外力，同时给导体棒瞬时冲量，此后导体棒向右做匀速直线运动，且始终与导轨保持良好接触。求：

图9

(1)0～t0时间内导体棒ab所受水平外力的大小及方向；

(2)t0时刻给导体棒的瞬时冲量的大小。

答案　(1)　水平向左　(2)

解析　(1)由法拉第电磁感应定律得

E1＝＝＝

所以此时回路中的电流为

I＝＝

根据右手螺旋定则知电流方向为a到b

因为导体棒在水平外力作用下处于静止状态，故外力等于此时的安培力，

即F＝F安＝BIL＝

由左手定则知安培力方向向右，故水平外力方向向左。

(2)导体棒做匀速直线运动，切割磁感线产生电动势为E2＝BLv

由题意知E1＝E2

所以联立解得v＝

所以根据动量定理知t0时刻给导体棒的瞬时冲量的大小为I＝mv－0＝。