2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第四章 曲线运动 万有引力与航天

第3节　圆周运动

一、匀速圆周运动及描述
1.匀速圆周运动
(1)定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2.运动参量

定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v)
v＝＝
单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
ω＝＝
单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
T＝＝，单位：s
f＝，单位：Hz
n＝，单位：r/s
向心加
速度
描述速度方向变化快慢的物理量(a)，方向指向圆心
a＝＝ωr2
单位：m/s2
【自测1】 (多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车(　　)
A.运动路程为600 m
B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s
D.转弯半径约为3.4 km
答案　AD
二、匀速圆周运动的向心力
1.作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
3.方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
4.来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
三、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2.受力特点(如图1所示)

图1
(1)当F合＝0时，物体沿切线方向飞出。
(2)当0＜F合＜m时，物体逐渐远离圆心。
(3)当F合＞m时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
3.本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。
【自测2】 (多选)如图2所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化。下列关于小球运动情况的说法中正确的是(　　)

图2
A.若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做直线运动
B.若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C.若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动
答案　AB

考点一　圆周运动的运动学问题
1.对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比。当ω一定时，v与r成正比。当v一定时，ω与r成反比。
2.对a＝＝ω2r的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。

图3
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。

图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。

图5

1.(向心加速度)(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图6，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　)

图6
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
答案　C
解析　向心加速度的公式a＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得a≈1 000 m/s2，C正确。
2.(线速度与向心加速度)(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图7所示的曲杆道闸。道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是(　　)

图7
A.P点的线速度大小不变
B.P点的加速度方向不变
C.Q点在竖直方向做匀速运动
D.Q点在水平方向做匀速运动
答案　A
解析　由于杆OP匀速转动，P点到圆心的距离不变，故P点的线速度大小不变，A正确；P点的加速度为向心加速度，始终指向圆心，方向时刻变化，B错误；设OP＝l1，PQ＝l2，可知Q点到O点所在水平线的距离y＝l1sin(30°＋ωt)，故Q点在竖直方向的运动不是匀速运动，C错误；Q点到O点的水平距离x＝l2＋l1cos(30°＋ωt)，故Q点在水平方向的运动也不是匀速运动，D错误。
考点二　圆周运动的动力学问题
1.向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.运动模型
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水
平转弯

火车转弯

圆锥摆

飞车走壁

汽车在
水平路
面转弯

水平转台
(光滑)

3.分析思路

【真题示例1】 (多选)(2021·河北卷)如图8，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若ω′＞ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　)

图8
A.小球的高度一定降低
B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
答案　BD
解析　设弹簧的劲度系数为k，形变量为x，弹簧与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ间的距离为L，对小球受力分析有kxcos θ－mg＝0，即竖直方向受力为0，水平方向有kxsin θ±N＝mω2L，当金属框以ω′绕MN轴转动时，假设小球的位置升高，则kx减小，cos θ减小，小球受力不能平衡；假设小球的位置降低，则kx增大，cos θ增大，小球受力同样不能平衡，则小球的位置不会变化，弹簧弹力的大小一定不变，故A错误，B正确；小球对杆的压力大小F压＝N＝mω2L－kxsin θ或F压＝N＝kxsin θ－mω2L，所以当角速度变大时压力大小不一定变大，故C错误；由F合＝mω2r知，当角速度变大时小球受到的合外力一定变大，故D正确。

3.(2022·湖南岳阳检测)如图9所示，为列车经过某一转弯处的照片，有两名乘客分别坐在列车上a、b位置，下列说法正确的是(　　)

图9
A.线速度相同
B.向心力大小相等
C.列车转弯的向心力可能只由重力、支持力提供
D.转弯时，列车速度超过设计速度时会受到离心力的作用
答案　C
解析　当列车转弯时，乘客分坐在列车上a、b位置，线速度方向不同，A错误；根据F＝m，a、b位置的乘客质量不一定相同，向心力不一定相同，B错误；当列车转弯时，当重力和支持力的合力恰好提供向心力时，此时列车转弯的向心力可能只由重力和支持力提供，C正确；离心力不是真实的力，D错误。
4.(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图10所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　)

图10
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
答案　A
解析　设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，沿摆绳方向，对小明受力分析，有F－mgcos θ＝m，因最高点时小明的速度为0，则F＝mgcos θ，绳子一定有弹力
C.ω在L，ω增大，木块可能向O点滑动
D.如果RL木块随圆盘匀速转动所需向心力大于细线张力，木块受到指向O点的摩擦力f，当ω增大，摩擦力f也增大，达到最大静摩擦力后木块会远离O点滑动，C错误；同理，如果R