2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第五章 机械能

第3节　机械能守恒定律及应用

一、重力做功与重力势能的关系
1.重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2.重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
【自测1】 关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案　D
二、弹性势能
1.定义：发生弹性形变的物体的各个部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为
W＝－ΔEp。
【自测2】 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案　AB
三、机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
3.机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
【自测3】 下列几种运动中，机械能一定守恒的是(　　)
A.做匀速直线运动的物体
B.做匀变速直线运动的物体
C.做平抛运动的物体
D.做匀速圆周运动的物体
答案　C

考点一　机械能守恒的理解和判断
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
(2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
(3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。

1.(机械能守恒的条件)(2021·浙江绍兴期末)如图1所示为阿拉斯加当地人的一种娱乐方式。他们用一块弹性毯子将小孩竖直抛起，再保持弹性毯子水平，接住小孩。不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)

图1
A.用毯子将小孩上抛，毯子对小孩做正功，小孩机械能增加
B.小孩在空中上升时处于超重状态，下落过程处于失重状态
C.小孩由最高点下落，一接触到弹性毯子就立刻做减速运动
D.小孩由最高点下落至速度为零的过程中，小孩机械能守恒
答案　A
解析　用毯子将小孩上抛，毯子对小孩做正功，小孩机械能增加，故A正确；小孩在空中上升时和下落过程加速度向下，都处于失重状态，故B错误；小孩由最高点下落，一接触到弹性毯子在弹力小于重力之前，加速度向下，还是加速运动，故C错误；小孩由最高点下落至速度为零的过程中，除重力外，毯子的弹力对小孩做负功，小孩机械能减小，故D错误。
2.(机械能守恒的判断)(2021·山西太原模拟)如图2所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是(　　)

图2
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
答案　B
解析　不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。
考点二　单个物体的机械能守恒问题
1.表达式


用“守恒形式”时，需要选取重力势能的参考平面。用“转化形式”和“转移形式”时则不必选取重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。
2.一般步骤

【例1】 如图3，MN为半径R＝0.4 m、固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：

图3
(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；
(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；
(3)小钢珠的落点Q与圆心O的距离x。
答案　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m
解析　(1)小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，则有mg＝m
解得vN＝2 m/s。
(2)小钢珠在光滑圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律得
mv－Ek＝－mgR
解得Ek＝0.06 J。
(3)小钢珠从N点水平飞出后，做平抛运动，
R＝gt2，x＝vNt，解得x＝ m。

❶应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
❷如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。

3.如图4，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)

图4
A. B. C. D.
答案　B
解析　设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，半径为r，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律有2mgr＋mv＝mv2，小物块做平抛运动时，设落地点到轨道下端的距离为x，则有x＝v1t，2r＝gt2，联立以上式子解得x＝2，当r＝时，x最大，故选项B正确。
考点三　连接体的机械能守恒问题
1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA增＝ΔEB减的形式。
角度1　轻绳连接的物体系统
常见情景

三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
【例2】 (2021·黑龙江哈尔滨模拟)如图5所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，A、B通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时，圆环与定滑轮之间的绳子处于水平状态，长度l＝4 m，现从静止开始释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)

图5
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[思路点拨]　通过圆环的速度找出物体A的速度，然后对系统应用机械能守恒定律即可。

答案　A
解析　圆环下降3 m时，速度沿绳方向和垂直绳方向进行分解，可得vA＝vcos θ，由几何关系可知cos θ＝，解得vA＝3 m/s。物体A上升的高度h′＝－l＝1 m。将A、B看作一个系统，该系统的机械能守恒，由机械能守恒定律可得mgh－Mgh′＝mv2＋Mv，代入数据解得＝，选项A正确。

❶本题中物体A和圆环B的速度大小并不相等，但物体A的速度和圆环B在沿绳方向上的分速度大小相等，所以在解决此类问题时，一定要弄清楚轻绳连接的两物体间的速度关系。
❷此题中物体A和圆环B的位移大小也是不同的，所以一定要找准两者之间的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
❸一定要注意是物体A和圆环B组成的系统机械能守恒，单个的物体A或圆环B的机械能不守恒，因为绳的拉力要做功，如在本题中，轻绳对A做正功，对B则做了负功。
角度2　轻杆连接的物体系统
常见情景

vAsin θ＝vBcos θ

三大特点
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒
【例3】 (2021·山东烟台模拟)如图6所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量均为1 kg，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个大小为2 m/s，方向水平向左的初速度，经过一段时间，两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，重力加速度g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是(　　)

图6
A.杆对小球A做负功
B.小球A的机械能守恒
C.杆对小球B做正功
D.小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
[思路点拨]　首先判定两小球组成的系统机械能守恒，然后计算当A、B两小球的速度减为零时两球在斜面上上升的高度，最后分别对两小球应用动能定理，判断杆对两小球的做功情况。
答案　D
解析　由于两小球组成的系统机械能守恒，设两小球的速度减为零时，B小球上升的高度为h，则由机械能守恒定律可得mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝·2mv，其中L为轻杆的长度，v0为两小球的初速度，代入数据解得h＝0.15 m，选项D正确；在A球沿斜面上升过程中，设杆对A球做的功为W，则由动能定理可得－mg(h＋Lsin 30°)＋W＝0－mv，代入数据解得W＝0.5 J，选项A、B错误；由于两小球系统的机械能守恒，系统内力做功之和为0，故杆对小球B做功为W′＝－0.5 J，选项C错误。

❶通过轻杆连接的物体系统，轻杆对两个物体都施加力的作用，物体各自的机械能不守恒。
❷轻杆对与其连接的物体的作用力一般情况下属于变力，该力对物体做的功一般用动能定理进行求解。
❸要注意用轻杆连接的两物体的速度大小不一定总是相等，但两物体沿杆方向的速度大小一定相等，此时可以利用运动的合成与分解寻找两物体速度之间的关系。
角度3　轻弹簧连接的物体系统
题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
【真题示例4】 (多选)(2020·山东卷)如图7所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是(　　)

图7
A.M