2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第七章 静电场

第2节　电场能的性质

一、静电力做功和电势能
1.静电力做功
(1)特点：静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关。
(2)W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体在沿电场方向的位移。
(3)WAB＝qUAB，适用于任何电场。
2.电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零。
3.静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
(2)通过WAB＝EpA－EpB可知：静电力对电荷做多少正功，电荷的电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷的电势能就增加多少。
(3)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
【自测1】 (多选)如图1所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知FN，EpM>EpN
C.FM0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是(　　)

图5
A.沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B.沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C.正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D.将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
答案　BC
解析　如图所示，找出Q点，使Q点与P点的距离等于M点与P点的距离，L点为MN上到P点距离最短的点，根据三角形边角关系、点电荷的电场强度公式E＝k和正点电荷形成电场中的电势特点可知，沿着MN边，从M点到N点，到P点的距离r先减小后增大，电场强度先增大后减小，电势也先增大后减小，选项B正确，A错误；根据电势能与电势的关系Ep＝qφ可知，正电荷在M点的电势能比在N点的电势能大，故将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为正，选项C正确，D错误。
考点二　电势差与电场强度的关系
1.公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2.两个推论

3.E＝在非匀强电场中的“两点”妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场中两点间电势差的大小关系：距离相等的两点间平均电场强度E越大，则电势差U越大，如图6甲所示，AB＝BC，则有UAB＞UBC；平均电场强度E越小，则电势差U越小，如图乙所示，AB＝BC，则有UAB＜UBC。

图6
【例3】 如图7所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面。将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV。电场强度大小为(　　)

图7
A.200 V/m B.300 V/m
C.200 V/m D.400 V/m
答案　D
解析　电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝＝＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝＝＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，C、D为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝＝ V/m＝400 V/m，选项D正确。

2.如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图8所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　)

图8
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
答案　B
解析　过O点和Q点作电场的等势面，如图所示。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，因此由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。
考点三　静电场中的三类图像
角度1　E－x图像
(1)E－x图像反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E－x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。
【例4】 (2021·广东深圳调研)真空中，在x轴上x＝0 m处和x＝8 m处分别固定电性相同的点电荷Q1和Q2，电荷间连接线上的电场强度E随x变化的图像如图9所示(以＋x方向为电场强度正方向)，其中x＝6 m处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2 m处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)，则(　　)

图9
A.Q1、Q2均为负电荷
B.Q1、Q2带电荷量之比为9∶1
C.在x＝6 m处电势为0
D.该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
答案　B
解析　由图像可知，x＝0 m处电场强度为正，x＝8 m处电场强度为负，故Q1、Q2均为正电荷，A错误；根据题意可知，在x＝6 m处，Q1、Q2产生的电场强度大小相等，即k＝k，解得＝＝，B正确；由于无穷远处电势为零，故在x＝6 m处电势大于0，C错误；该试探电荷向x轴正方向运动时，电场力先做正功，再做负功，因此电势能先减小后增大，D错误。
角度2　φ－x图像
(1)电场强度的大小等于φ－x图线切线的斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零。
(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
(3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
【例5】 (多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图10所示。下列说法正确的有(　　)

图10
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案　AC
解析　从图中看到，中间电势高，两边电势低，且图形左右不对称，判断q1和q2带有异种不等量电荷，A正确；从图线斜率看，x1处的电场强度不为零，B错误；负电荷从x1移到x2，即由低电势到高电势，由Ep＝qφ知，电势能减小，C正确；负电荷从x1移到x2，曲线斜率减小，电场强度减小，由F＝qE知，负电荷受到的电场力减小，D错误。
角度3　Ep－x图像
【例6】 一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图11所示。下列图像中合理的是(　　)

图11

答案　D
解析　由于粒子只受电场力作用，因此由F电＝可知，Ep－x图像的斜率大小即为粒子所受电场力大小，从题图可知，图像的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，加速度也越来越小，A错误，D正确；由于粒子只受电场力作用，因此动能与电势能的和是定值，但从B项和题图可以看出，不同位置的电势能与动能的和不是定值，B错误；粒子做加速度减小的加速运动，C错误。

带电粒子在电场中运动轨迹问题
1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便。
2.判断电场力的方向：仅受电场力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受电场力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断电场力方向。
若已知电场线和轨迹，所受电场力的方向与电场线(或切线)共线；
若已知等势线和轨迹，所受电场力的方向与等势线垂直。
3.判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力方向与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力方向与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
【示例1】 (2021·八省联考广东卷)如图1所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上。下列说法正确的是(　　)

图1
A.p点的电势高于n点的电势
B.微粒在p点的电势能小于在m点的电势能
C.微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量
D.微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量
答案　D
解析　沿着电场线方向，电势逐渐降低，则φn>φp，故A错误；负电荷从p运动到m的过程中，电场力做正功，电势能减小，则Epp>Epm，故B错误；两微粒从p到n和从p到m的过程中，均只受电场力且其做正功，由动能定理有qU＝ΔEk，因Upn＝Upm，电荷量q相等，所以两微粒的动能变化量相等，故C错误；由于W＝ΔEp，电场力做正功相等，所以微粒从p到n和从p到m电势能的变化量相等，故D正确。
【示例2】 (2021·河南郑州质检)如图2所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是(　　)

图2
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能小于它在a点的动能
C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
答案　D
解析　由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确；M从a点到b点，库仑力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于在a点的动能，故B正确；d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于在e点的电势能，故C正确；N从c点运动到d点，电场力做正功，故D错误。


考点一　电场能的性质的理解
1.如图1所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φA和φB，粒子在A、B两点加速度大小分别为aA和aB，速度大小为vA和vB，电势能分别为EpA和EpB，下列判断正确的是(　　)

图1
A.vAaB，选项B错误；根据沿着电场线方向，电势逐渐降低，可知φAφb，所以电场强度的方向为垂直于ac线，指向b点，A错误，C正确；负电荷在电势低的地方电势能大，即电子在d点的电势能小于在b点的电势能，D错误。
考点三　静电场中的三类图像
6.(多选)空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图6所示。－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，图像关于坐标原点O中心对称，下列说法中正确的是(　　)

图6
A.－x1处的电势比x1处的电势高
B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大后减小
C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动
D.负电荷在4个点中位于x2处电势能最大
答案　BC
解析　根据题意，电场关于x轴对称分布，沿电场线方向电势降低，则O点电势最高，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等，则－x1处的电势与x1处的电势相等，A错误；将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大后减小，B正确；－x1和x1之间的电场是对称的，将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，负电荷先向右做加速运动，经过O点之后做减速运动，到x1处速度减为零，则它将在－x1和x1之间往复运动，C正确；4个点中，x3点的电势最低，则负电荷在4个点中位于x3处电势能最大，D错误。
7.(多选)(2021·湖南长沙月考)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图像如图7所示，其中P点电势最高，且xAP