2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第九章 磁场

专题强化十一　带电粒子在复合场中运动的实例分析
【专题解读】 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现。
2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力。针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心。
3.用到的知识有：牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律、类平抛运动的规律、圆周运动的规律。
实例一　质谱仪的原理和分析
1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
2.原理（如图1所示）

图1
（1）加速电场：qU＝mv2。
（2）偏转磁场：qvB＝，l＝2r，由以上两式可得
r＝，m＝，＝。
【例1】 （多选）（2021·四川成都联考）如图2所示，电荷量相等的两种离子氖20和氖22从容器下方的狭缝S1飘入（初速度为零）电场区，经电场加速后通过狭缝S2、S3垂直于磁场边界MN射入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，离子经磁场偏转后发生分离，最终到达照相底片D上。不考虑离子间的相互作用，则（　　）

图2
A.电场力对每个氖20和氖22做的功相等
B.氖22进入磁场时的速度较大
C.氖22在磁场中运动的半径较小
D.若加速电压发生波动，两种离子打在照相底片上的位置可能重叠
答案　AD
解析　电场力对粒子做的功为W＝qU，则电场力对每个氖20和氖22做的功相等，A正确；根据qU＝mv2，得v＝，所以氖22（质量较大）进入磁场时的速度较小，B错误；根据r＝和v＝得r＝，因为氖22质量较大，所以氖22在磁场中运动的半径较大，C错误；加速电压发生波动，根据r＝，两种离子打在照相底片上的位置可能重叠（不同时刻），D正确。

1.（2021·福建龙岩模拟）质谱仪的原理如图3所示，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C、D间有一荧光屏。同位素离子源产生a、b两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点。离子重力不计。则（　　）

图3
A.a离子质量比b的大
B.a离子质量比b的小
C.a离子在磁场中的运动时间比b的长
D.a、b离子在磁场中的运动时间相等
答案　B
解析　设离子进入磁场的速度为v，在电场中qU＝mv2，在磁场中qvB＝m，联立解得r＝＝，由题图知，b离子在磁场中运动的轨道半径较大，a、b为同位素，电荷量相同，所以b离子的质量大于a离子的质量，所以A错误，B正确；在磁场中运动的时间均为半个周期，即t＝＝，由于b离子的质量大于a离子的质量，故b离子在磁场中运动的时间较长，C、D错误。
实例二　回旋加速器的原理和分析
1.构造
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。

图4
2.原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子就被加速一次。
3.最大动能
由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
4.总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝。
【例2】 （多选）（2021·安徽六安质检）回旋加速器是高能物理中的重要仪器，其原理是利用磁场和电场使带电粒子回旋加速运动，在运动中经高频电场反复加速从而使粒子获得很高的能量。如图5甲所示，两个D形金属盒置于恒定的匀强磁场中，并分别与高频电源相连（电压随时间变化如图乙所示），D形盒半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，两D形盒间距离为d（d≪R）。若用回旋加速器加速氘核H（设氘核质量m、电荷量q），则下列判断正确的是（　　）

图5
A.加速电压U0越大，氘核获得的最大动能越大
B.氘核加速的最大动能为
C.氘核在电场中运动的总时间为
D.该回旋加速器不可以用来加速氦核（He）
答案　BC
解析　粒子在回旋加速器里的速度由D型盒的半径决定，由qvB＝m，得v＝，所以最大动能Ekm＝，氘核获得的最大动能与加速电压无关，则A错误，B正确；设粒子加速次数为n，由动能定理nqU0＝Ekm，可得n＝，粒子在电场中运动的路程s＝nd，平均速度为，得在电场中运动时间t＝＝，选项C正确；氦核与氘核的比荷相同，在磁场中周期频率相同，可以进行加速，选项D错误。

2.（多选）（2021·山东烟台期末）如图6所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是（　　）

图6
A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶
答案　BC
解析　粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvmB＝m，解得vm＝，则粒子获得的最大动能为Ekm＝mv＝，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得nqU＝，加速次数n＝，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间t＝T＝将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得nqU＝mv，解得vn＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvnB＝m，解得rn＝，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为＝，故D错误。
实例三　电场与磁场叠加的应用实例
共同特点：当带电粒子（不计重力）在复合场中做匀速直线运动时，qvB＝qE，即v＝。
角度1　速度选择器
1.平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直。（如图7）

图7
2.带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝。
3.速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
4.速度选择器具有单向性。
【例3】 如图8所示是一速度选择器，当粒子速度满足v0＝时，粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v射入该速度选择器后，运动轨迹为图中实线，则关于该粒子的说法正确的是（　　）

图8
A.粒子射入的速度一定是v＞
B.粒子射入的速度可能是v＜
C.粒子射出时的速度一定大于射入速度
D粒子射出时的速度一定小于射入速度
答案　B
解析　若粒子带正电，当满足qvB＞Eq，即v＞时，粒子沿实线运动，电场力做负功，动能减小，粒子射出时的速度小于射入速度；若粒子带负电，当满足qvB＜Eq，即v＜时，粒子沿实线运动，电场力做正功，动能增大，粒子射出时的速度大于射入速度；综上分析知，只有选项B正确。
角度2　磁流体发电机
1.原理：如图9所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。

图9
2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极。
3.电源电动势E：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R。当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U（即电源电动势为U），则q＝qvB，即E＝U＝Blv。
4.电源内阻：r＝ρ。
5.回路电流：I＝。
【真题示例4】 （2021·河北卷）如图10，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是（　　）

图10
A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
答案　B
解析　由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝，而对等离子体受力分析有q＝qvB1，解得v＝。故B正确，A、C、D错误。
角度3　电磁流量计
如图11所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差（U）达到最大，由q＝qvB，可得v＝。

图11
（1）流量的表达式：Q＝Sv＝·＝。
（2）电势高低的判断：根据左手定则可得φa＞φb。
【例5】 （多选）安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积，如图12所示为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得M、N间电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则（　　）

图12
A.电压U与污水中离子浓度无关
B.污水的流量Q＝
C.金属板M的电势低于金属板N的电势
D.左、右两侧管口的压强差Δp＝
答案　AD
解析　污水中的离子受到洛伦兹力，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M的电势大于金属板N的电势，从而在管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即qvB＝q，解得U＝cvB，可知电压U与污水中离子浓度无关，A正确，C错误；污水的流量为Q＝vbc＝bc＝，B错误；污水流过该装置受到的阻力为f＝kLv2＝ka，污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，即Δp·bc＝f，则Δp＝＝＝，D正确。
角度4　霍尔效应的原理和分析
1.霍尔效应：
高为h、宽为d的导体（自由电荷是电子或正电荷）置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2.电势高低的判断：如图13，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低。

图13
3.霍尔电压的计算：导体中的自由电荷（电荷量为q）在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差（U）就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd；联立得U＝＝k，k＝称为霍尔系数。
【例6】 （多选）在一个很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N，做成了一个霍尔元件，在E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，M、N间的电压为UH。已知半导体薄片中的载流子为正电荷，电流与磁场的方向如图14所示，下列说法正确的有（　　）

图14
A.N板电势高于M板电势
B.磁感应强度越大，MN间电势差越大
C.将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，UH不变
D.将磁场和电流分别反向，N板电势低于M板电势
答案　AB
解析　电流的方向由E指向F，根据左手定则，自由电荷受力的方向指向N板，向N板偏转，则N板电势高，故A正确；设上、下表面间距为L，左右两个表面相距为d，正电荷所受的电场力最终等于洛伦兹力，设材料单位体积内正电荷的个数为n，材料截面积为S，则＝qvB，又I＝nqSv，S＝dL，联立解得UH＝，令k＝，有UH＝k，若保持电流I恒定，则M、N间的电压与磁感应强度B成正比，故B正确；将磁场方向变为与薄片的上、下表面平行，则载流子不会受到洛伦兹力，因此不存在电势差，故C错误；若磁场和电流分别反向，依据左手定则，则N板电势仍高于M板电势，故D错误。


考点一　质谱仪的原理和分析
1.（多选）（2021·吉林长春调研）质谱仪是用来分析同位素的装置，如图1为质谱仪的示意图，其由竖直放置的速度选择器、偏转磁场构成。由三种不同粒子组成的粒子束以某速度沿竖直向下的方向射入速度选择器，该粒子束沿直线穿过底板上的小孔O进入偏转磁场，最终三种粒子分别打在底板MN上的P1、P2、P3三点，已知底板MN上下两侧的匀强磁场方向均垂直纸面向外，且磁感应强度的大小分别为B1、B2，速度选择器中匀强电场的电场强度的大小为E。不计粒子的重力以及它们之间的相互作用，则（　　）

图1
A.速度选择器中的电场方向向右，且三种粒子均带正电
B.三种粒子的速度大小均为
C.如果三种粒子的电荷量相等，则打在P3点的粒子质量最大
D.如果三种粒子电荷量均为q，且P1、P3的间距为Δx，则打在P1、P3两点的粒子质量差为
答案　ACD
解析　根据粒子在磁场B2中的偏转方向，由左手定则知三种粒子均带正电，在速度选择器中，粒子所受的洛伦兹力向左，电场力向右，知电场方向向右，故A正确；三种粒子在速度选择器中做匀速直线运动，受力平衡，有qE＝qvB1，得v＝，故B错误；粒子在磁场区域B2中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB2＝m得R＝，三种粒子的电荷量相等，半径与质量成正比，故打在P3点的粒子质量最大，故C正确；打在P1、P3间距Δx＝2R3－2R1＝－＝（m3－m1）＝Δm，解得Δm＝，故D正确。
2.（多选）如图2所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）

图2
A.极板M比极板N的电势高
B.加速电场的电压U＝ER
C.直径PQ＝2B
D.若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点，则该群粒子具有相同的比荷
答案　AD
解析　粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转，说明粒子带正电荷，极板M比极板N的电势高，选项A正确；由Uq＝mv2和Eq＝可得U＝，选项B错误；在磁场中，由牛顿第二定律得qvB＝m，即r＝，直径PQ＝2r＝＝2，可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点，选项C错误，D正确。
考点二　回旋加速器的原理和分析
3.（2020·福建厦门市期末质量检测）美国物理学家劳伦斯于1932年发明了回旋加速器，利用带电粒子在磁场中做圆周运动的特点，使粒子在较小的空间范围内经过电场的多次加速获得较大的能量，由此，人类在获得高能粒子方面前进了一大步。如图3为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小恒定，且被限制在MN板间，两虚线中间区域无电场和磁场，带正电粒子从 P0处以速度 v0 沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）

图3
A.D形盒中的磁场方向垂直纸面向外
B.加速电场方向需要做周期性的变化
C.增大板间电压，粒子最终获得的最大动能不变
D.粒子每运动一周直径的增加量都相等
答案　C
解析　由左手定则可知，D形盒中的磁场方向垂直纸面向里，选项A错误；根据此加速器的结构可知，加速电场方向总是竖直向下的，选项B错误；根据qvB＝m，则最大动能Ek＝mv2＝，可知增大板间电压，粒子最终获得的最大动能不变，选项C正确；根据nqU＝mv，则Rn＝＝，粒子每运动一周，动能的变化量相同，但是直径的增加量不相等，选项D错误。
4.（多选）如图4所示是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源两端相连。现分别加速质子（H）和氘核（H）。下列说法中正确的是（　　）

图4
A.它们的最大速度相同
B.质子的最大动能大于氘核的最大动能
C，加速质子和氘核所用高频电源的频率相同
D.仅增大高频电源的电压不可能增大粒子的最大动能
答案　BD
解析　设质子质量为m，电荷量为q，则氘核质量为2m，电荷量为q，它们的最大速度分别为v1＝和v2＝，选项A错误；质子的最大动能Ek1＝，氘核的最大动能Ek2＝，选项B正确；高频电源的频率与粒子在磁场中的回旋频率相同，即f1＝，f2＝，所以加速质子和氘核所用高频电源的频率不相同，选项C错误；被加速的粒子的最大动能与高频电源的电压无关，所以仅增大高频电源的电压不可以增大粒子的最大动能，选项D正确。
考点三　电场与磁场叠加的应用实例
5.（原创题）血流计原理可以简化为如图5所示模型，血液内含有少量正、负离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间可以用电极测出电压U。下列说法正确的是（　　）

图5
A.离子所受洛伦兹力方向由M指向N
B.血液中正离子多时，M点的电势高于N点的电势
C.血液中负离子多时，M点的电势高于N点的电势
D.血液流量Q＝
答案　D
解析　根据左手定则，正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则正电荷聚集在N一侧，负电荷聚集在M一侧，则M点的电势低于N点的电势，A、B、C错误；正负离子达到稳定状态时，有qvB＝q可得流速v＝，流量Q＝Sv＝·＝，D正确。
6.为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图6所示的长方体流量计。该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法中正确的是（　　）

图6
A.M端的电势比N端的高
B.电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关
C.电压表的示数U与污水的流量Q成正比
D.若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0
答案　C
解析　根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N端带正电，M端带负电，则M端的电势比N端电势低，故A错误；最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有qvB＝q，解得U＝vBb，电压表的示数U与b成正比，与污水中正、负离子数无关，故B、D错误；因v＝，则流量Q＝vbc＝，因此U＝，所以电压表的示数U与污水流量Q成正比，故C正确。
7.（多选）如图7所示为磁流体发电机的原理图。金属板M、N之间的距离为d＝20 cm，磁场的磁感应强度大小为B＝5 T，方向垂直纸面向里。现将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正离子和负离子，整体呈电中性）从左侧喷射入磁场，发现在M、N两板间接入的额定功率为P＝100 W的灯泡正常发光，且此时灯泡电阻为R＝100 Ω，不计离子重力和发电机内阻，且认为离子均为一价离子，则下列说法中正确的是（　　）

图7
A.金属板M上聚集负电荷，金属板N上聚集正电荷
B.该发电机的电动势为100 V
C.离子从左侧喷射入磁场的初速度大小为103 m/s
D.每秒有6.25×1018个离子打在金属板N上
答案　BD
解析　由左手定则可知，射入的等离子体中正离子将向金属板M偏转，负离子将向金属板N偏转，选项A错误；由于不考虑发电机的内阻，则发电机的电动势等于路端电压，所以E＝U＝＝100 V，选项B正确；由qvB＝q可得v＝＝100 m/s，选项C错误；每秒经过灯泡的电荷量Q＝It，而I＝＝1 A，所以Q＝1 C，由于离子均为一价离子，所以每秒打在金属板N上的离子个数为n＝＝＝6.25×1018（个），选项D正确。

8.（2020·江苏海门中学第二次质调）如图8所示，甲是回旋加速器，乙是磁流体发电机，丙是速度选择器，丁是霍尔元件，下列说法正确的是（　　）

图8
A.甲图要增大粒子的最大动能，可增加电压U
B.乙图可判断出A极板是发电机的负极
C.丙图可以判断出带电粒子的电性，粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是v＝
D.丁图中若载流子带负电，稳定时C板电势高
答案　B
解析　根据公式r＝得v＝，故最大动能Ekm＝mv2＝，与加速电压无关，故A错误；由左手定则知正离子向下偏转，所以下极板带正电，A板是电源的负极，B板是电源的正极，故B正确；电场的方向与B的方向垂直，带电粒子进入复合场，受电场力和洛伦兹力，且二力是平衡力，即qE＝qvB，所以v＝，不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以无法判断粒子的电性，故C错误；若载流子带负电，由左手定则可知，负粒子向C端偏转，所以稳定时C板电势低，故D错误。
9.如图9所示，导电物质为电子的霍尔元件样品置于磁场中，上、下表面与磁场方向垂直，图中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。当开关S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数，下列说法正确的是（　　）

图9
A.通过霍尔元件的磁场方向向上
B.接线端2的电势高于接线端4的电势
C.仅将电源E1、E2反向接入电路，电压表的示数不变
D.若适当减小R1、增大R2，则电压表示数一定增大
答案　C
解析　由安培定则可判断出铁芯左侧线圈产生的磁场方向向上，经铁芯后霍尔元件处的磁场方向向下，选项A错误；通过霍尔元件的磁场方向向下，由左手定则可知，霍尔元件中电子受到的洛伦兹力方向向右，电子偏向接线端2，则接线端2的电势低于接线端4的电势，选项B错误；仅将电源E1、E2反向接入电路，磁场反向，电流反向，霍尔元件中电子受到的洛伦兹力不变，电压表的示数不变，选项C正确；若适当减小R1，电流产生的磁场变强，通过霍尔元件的磁感应强度增大，增大R2，流过霍尔元件的电流减弱，霍尔元件产生的电压U＝k（d为霍尔元件上、下表面之间的距离）可能减小，电压表示数可能减小，选项D错误。
10.（2019·浙江4月选考）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图10所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m和0.5m的正离子束，从M点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为m的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON连线的中点P与水平方向成θ角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m的离子打在O点正下方的Q点。已知＝0.5r0，＝r0，N、P两点间的电势差UNP＝，cos θ＝，不计重力和离子间相互作用。

图10
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B的大小；
（2）求质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B－ΔB）到（B＋ΔB）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两束离子，求的最大值。
答案　（1）　　（2）1.5r0　（3）0.12
解析　（1）由径向电场力提供向心力有
qE0＝
解得E0＝
由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝
解得B＝。
（2）从M点到P点，由动能定理有
qUNP＝×0.5mv2－×0.5mv
解得v＝v0
则在磁场中，质量为0.5 m的离子的轨迹半径
r＝＝r0
由几何知识有l＝2rcos θ－0.5r0
解得l＝1.5r0。
（3）若恰好能分辨，则有
－＝
解得＝－4≈0.12。