2021-2022学年广西玉林市容县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广西玉林市容县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列式子一定是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 的值为

A.  B.  C.  D.

4. 若，则实数在数轴上的对应点一定在

A. 原点左侧 B. 原点右侧
C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧

5. 已知中，，则它的三条边之比为

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

6. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形
 

8. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是

A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形

9. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是

A.  B.  C.  D.

10. 将一根长为厘米的筷子置于底面直径为厘米，高为厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为厘米，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；其中成立的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14. 化简：______．
15. 如图，矩形的对角线、相交于点，，则的长为______．
    
     

16. 如图，菱形的周长为，对角线、相交于点，是的中点，连接，则线段的长等于______．
     

17. 如图，要为一段高为米，长为米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要______米长．

18. 如图，为矩形对角线，的交点，，，是直线上的动点，且，则的最小值是______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：．
20. 已知，，求代数式的值．
21. 如图，每个小正方形的边长是．
    在图中画出一个面积是的直角三角形；在图中画出一个面积是的正方形．

22. 绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，是上的一点，，，．
    判断的形状，并说明理由；
    求线段的长．
    
     

23. 如图，分别以的直角边及斜边向外作等边及等边，已知：，，垂足为，连接．
    试说明：；
    求证：四边形是平行四边形．

24. 观察下列等式：
    ：
    
    回答下列问题：
    利用你观察到的规律，化简：______．
    ______为正整数．
25. 如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
    市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
    如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

26. 已知在菱形中，点在上，连接．
    
    在上取点，使得．
    如图，当于点时，求证：．
    如图，当与不垂直时，判断中的结论即是否仍然成立，若成立，请给出证明：若不成立，则需说明理由．
    如图，在的延长线取点，连接，使得，若，，，求此时线段的长．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，无论取何值，均为二次根式，符合题意；
，当时，不是二次根式，不合题意；
，当时，不是二次根式，不合题意；
，当时，不是二次根式，不合题意．
故选：．
直接根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式解答即可．
此题考查的是二次根式的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，
即以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
即以、、为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，
即以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
即以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：




，
故选：．
根据平方差公式、有理数的乘方、二次根式的乘法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根的非负性： ，然后利用熟知数轴表示数的方法即可解答．
根据算术平方根的非负性，知 ，即 ，根据数轴表示数的方法即可求解．
【解答】
解： ，
，
故实数 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选： ．   

5.【答案】

【解析】解：，，
，，，
，，
三条边的比是：：．
故选：．
根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据正方形的面积可以得到，，然后根据勾股定理即可得到，从而可以求得的值．
本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解： 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 是平行四边形，当 时，它是菱形，故 A 选项正确；
B 、 四边形 是平行四边形，设 和 交于 点， ， ， ， ，
， 四边形 是菱形，故 B 选项正确；
C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；
D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；
综上所述，符合题意是 选项；
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：如图：菱形中，、、、分别是、、、的中点，
，；，，
故四边形是平行四边形，
又，
，
边形是矩形．
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
此题很简单，关键是要熟知菱形的性质，矩形的概念及三角形的中位线定理．
菱形的性质：菱形的对角线互相垂直；
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．
 

9.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，，
点表示的无理数是．
故选：．
利用勾股定理列式求出判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故．
故的取值范围是．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
 

11.【答案】

【解析】解：过作于，
是的中点，
，
，
，，
，
，，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
，
故选：．
过作于，根据三角形中位线定理得到，得到，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确，
，，
，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
由▱中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；可得是三角形的中位线，证得．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式乘法法则进行计算即可．
此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式乘法法则是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为．
根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题．
本题考查矩形的性质，解题的关键是根据矩形的对角线相等且互相平分解决问题，属于基础题．
 

16.【答案】

【解析】解：菱形的周长为，
，，
，
是的中点，
．
故答案是：．
由菱形的性质得的长，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得线段的长．
此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米，则红地毯至少要米长．
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
本题是一道实际问题，结合勾股定理解答．
 

18.【答案】

【解析】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，将沿着的方向平移长的距离，得到，连接，
则四边形是平行四边形，
，，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于长，
连接，交于，
由轴对称的性质，可得垂直平分，
又矩形中，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
中，，
的最小值是，
故答案为：．
利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于长，利用勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出的最小值．
本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

19.【答案】解：原式


．

【解析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：

，
，，
，，，
当，，时，原式．

【解析】先将所求式子通分，再将分子分解因式，然后根据，，求出、、的值，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：．

【解析】面积是的直角三角形只需两直角边长为，即可；面积是的正方形的边长为，是直角边长为，的两个直角三角形的斜边长．
直角三角形的两直角边的积等于面积的倍；
边长为无理数应先找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长．
 

22.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形，且，
，
是直角三角形；
设，
，
，
在中，，
，
，
．

【解析】由，可以判定，即可解决；
设，则，在直角中，利用勾股定理列方程，即可解决．
本题考查了勾股定理及其逆定理，利用，，三边关系，判断直角三角形，是此题的突破口．
 

23.【答案】解：在中，，
，
又是等边三角形，，

，
在和中，

≌，
；

是等边三角形，
，，
，
又，
，
，，
，
四边形是平行四边形．

【解析】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
首先由中，由可以得到，又由是等边三角形，，由此得到，并且，然后证得≌，继而证得结论；
根据知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形．
 

24.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；



为正整数．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案；
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
 

25.【答案】解：过作于，则，
市会受到台风影响；

过作，交于点，，
千米，
，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米时的速度向北偏西的方向移动，
该市受台风影响的时间为：小时．

【解析】本题考查勾股定理的应用，属于中档题．
此类是否受影响的题目，必须计算出最短距离进行分析，注意垂线段最短的性质，据此解答；
根据受影响的距离是千米以内，设出距离正好是千米的点，结合第一问计算的数据，根据勾股定理计算出受影响的路程，再进一步计算受影响的时间．
 

26.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：中的结论仍然成立．
证明：如图中，过点作于，于．

四边形是菱形，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
．
解：如图，过点作于点，

，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
．

【解析】由菱形的性质得出，，证明，由菱形的面积公式可得出答案；
过点作于，于证明≌，由全等三角形的性质可得出答案；
过点作于点，由直角三角形的性质求出，的长，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．